1-4-5.反比例のグラフ |

比例のグラフが「原点を通る直線」だったのに対し、反比例 $y = \frac{a}{x}$ のグラフは、全く違うユニークな形をしています。その形と特徴をしっかり掴みましょう。

反比例のグラフは、「双曲線（そうきょくせん）」と呼ばれる、なめらかな2本のペアになった曲線を描きます。

反比例のグラフの特徴

【反比例グラフの絶対ルール】
① 原点を通らない、なめらかな2本の曲線（双曲線）になる。
② 曲線はx軸やy軸に限りなく近づくが、決して交わらない。
③ 比例定数$a$の符号によって、曲線が現れる場所が決まる。

・$a>0$（aが正の数）のとき → 曲線は第1象限と第3象限に現れます。
・$a<0$（aが負の数）のとき → 曲線は第2象限と第4象限に現れます。

反比例のグラフは曲線なので、点をいくつか見つけて、それらを滑らかに結んで描きます。

座標のペアを見つけるため、表を作る。
曲線を描くには、なるべく多くの点が必要です。
xに、比例定数6の約数を代入する。
分数を避けるため、xに比例定数aの約数（正負両方）を代入すると、yが整数になり点を打ちやすくなります。

$x$ -6 -3 -2 -1 … 1 2 3 6

$y$ -1 -2 -3 -6 … 6 3 2 1
点を取り、なめらかに結ぶ。
表の点を座標平面に打ち、定規を使わずにフリーハンドで、軸に触れないように注意しながら2本の滑らかな曲線を描けば完成です。

\(x\)	-6	-3	-2	-1	…	1	2	3	6
\(y\)	-1	-2	-3	-6	…	6	3	2	1

グラフを見て、その式を求める方法です。反比例の性質「$xy=a$」を使うと一瞬で求められます。

手順①：反比例の式だと見抜く。
グラフが「双曲線」なので、これは反比例のグラフだと分かります。したがって、式の形は$y=\frac{a}{x}$です。

手順②：グラフが通る、整数の座標を1つ見つける。
グラフをよく見ると、点が(3, 4)の座標をきれいに通過しています。

手順③：座標を $xy=a$ に代入して比例定数を求める。
見つけた座標 $x=3$, $y=4$ を使って、積を計算します。

$$a = x \times y = 3 \times 4 = 12$$

比例定数aが12だと判明しました。これを $y=\frac{a}{x}$ に戻して、式の完成です。

答え：

$$y = \frac{12}{x}$$