どんな形をした三角形でも、3つの内角（内側の角）を足し合わせると、必ずある決まった角度になることを小学校で学びましたね。この単元では、なぜそうなるのかを「平行線の性質」を使って証明し、さらに三角形以外の多角形の内角の和を求める公式を導き出します。
三角形の内角の和は、なぜ180°なのか？
「三角形の内角の和が180°である」ことは、もはや常識かもしれませんが、その理由を説明できますか？ ここで、前回の「平行線と錯角」が活躍します。
証明のアイディア
△ABCの3つの角（∠A, ∠B, ∠C）を、1本の直線上に集めてみることで証明します。直線は180°なので、3つの角がぴったり直線上に集まれば、その和が180°であることが分かります。
上の図のように、頂点Aを通り、辺BCに平行な直線lを引きます。すると、平行線の錯角は等しいので、
- ∠Bと、直線lとの間にできる角（図の青い角）は等しくなります。
- ∠Cと、直線lとの間にできる角（図の赤い角）も等しくなります。
その結果、△ABCの3つの角（∠A、青い角、赤い角）が、頂点Aの周りに一直線に集まりました！したがって、三角形の内角の和は180°であると証明できました。
多角形の内角の和を求めよう
では、四角形や五角形、六角形など、もっと角の多い多角形の内角の和はどうなるのでしょうか？これも、三角形の内角の和が180°であることを利用すれば、簡単に求めることができます。
多角形の内角の和の求め方
1つの頂点から対角線を引いて、その多角形をいくつの三角形に分けられるかを考える！
- 四角形：1つの頂点から対角線を引くと、2つの三角形に分けられる。→ 内角の和は \(180° \times 2 = 360°\)
- 五角形：1つの頂点から対角線を引くと、3つの三角形に分けられる。→ 内角の和は \(180° \times 3 = 540°\)
- 六角形：1つの頂点から対角線を引くと、4つの三角形に分けられる。→ 内角の和は \(180° \times 4 = 720°\)
この関係をよく見ると、n角形は、常に (n-2)個 の三角形に分けられることが分かります。
n角形の内角の和の公式
$$180° \times (n-2)$$
＋多角形の外角の和
多角形のそれぞれの頂点で、1つの内角の外側にある角を外角（がいかく）と言います。面白いことに、どんな多角形でも、外角の和は常に360°になります。