「証明」と聞くと、なんだか難しくて特別なことのように感じるかもしれません。しかし、図形の証明とは、「正しい根拠を積み重ねて、結論までのすじ道を論理的に説明する作業」であり、実は決まった「型」にはめて書くパズルのようなものです。
この単元では、その「証明の書き方の型」をマスターします。この型さえ身につければ、どんな証明問題にも自信を持って取り組むことができます。
証明問題のレシピ
三角形の合同を使った証明は、基本的に次のパーツを順番に並べていくことで完成します。
証明の基本構造（レシピ）
- どの三角形に注目するか宣言する
△〇〇と△△△において、 - 等しい辺や角を、根拠と共に3つ見つけ出す
(根拠)より、〇〇 = △△ ･･･ ①
(根拠)より、〇〇 = △△ ･･･ ②
(根拠)より、〇〇 = △△ ･･･ ③ - 使った合同条件を宣言する
①,②,③より、(3つの合同条件のうちのどれか)ので、 - 三角形の合同を宣言する
△〇〇 ≡ △△△ - 結論を述べる
合同な図形の対応する〇〇は等しいので、□□ = ☆☆
例題で証明を組み立ててみよう
例題
下の図で、点Mが線分ABと線分CDの中点であるとき、AC = DB となることを証明しなさい。
【証明のすじみち（頭の中の作戦会議）】
結論（ゴール）は「AC = DB」を示すこと。そのためには、「△AMCと△BMDが合同であること（\(△AMC ≡ △BMD\)）」を言えれば良さそうだな。
証拠集め：合同を言うには証拠が3つ必要だ。
- 「MがABの中点」→ これは「AM = BM」が使えるぞ。（証拠1）
- 「MがCDの中点」→ これは「CM = DM」が使えるぞ。（証拠2）
- あと1つは…？ 図をよく見ると、∠AMCと∠BMDは「対頂角」だ！ 対頂角は必ず等しい。（証拠3）
よし、「辺・角・辺」の順番で証拠が3つ集まった。「2組の辺とその間の角」の合同条件が使えそうだ！作戦が決まったら、レシピに沿って書いていこう。
【解答】
△AMCと△BMDにおいて、
仮定（問題文の条件）より、
AM = BM ･･･ ①
CM = DM ･･･ ②
対頂角は等しいので、
∠AMC = ∠BMD ･･･ ③
①, ②, ③より、2組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△AMC ≡ △BMD
合同な図形の対応する辺は等しいので、
AC = DB