これまで二次方程式を解いてきて、解が2つある場合がほとんどでしたね。しかし、問題によっては解が1つだけの場合や、1つもない（解なし）場合も存在します。
実は、解をわざわざ求めなくても、解の公式のある部分に注目するだけで、解がいくつあるのかを簡単に見分けることができます。そして、その解の個数は、二次関数のグラフと深く関係しています。
解の個数を調べる「判別式」
二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解の公式を思い出してみましょう。
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
この式のルートの中身、\(b^2-4ac\) の部分に注目してください。この式の値を調べることで、解の個数が判明します。この式を「判別式（はんべつしき）」（記号\(D\)で表す）と呼びます。
判別式と解の個数
判別式 \(D = b^2-4ac\) の符号を調べることで、解の個数が分かる。
- \(D > 0\) （正の数） → ルートの中がプラスになり、解は2個ある。
- \(D = 0\) → ルートの中が0になり（\(\pm0\)は同じ）、解は1個だけになる。（この解を重解という）
- \(D < 0\) （負の数） → ルートの中がマイナスになり、そのような数は存在しないため、解は0個（解なし）となる。
二次方程式の解とグラフの関係
二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) の解は、実は、二次関数 \(y=ax^2+bx+c\) のグラフが、x軸（\(y=0\)の線）とどこで交わるかを示しています。
解の個数とグラフの交点の数
二次方程式の「解の個数」は、対応する二次関数のグラフと「x軸との交点の個数」と完全に一致します。
解が2個の場合 (\(D>0\))
グラフは、x軸と2つの異なる点で交わります。
解が1個（重解）の場合 (\(D=0\))
グラフは、x軸と1つの点でちょうど接します。
解が0個の場合 (\(D<0\))
グラフは、x軸と交わらず、宙に浮いた状態になります。
このように、二次方程式の解の個数を調べる判別式は、その関数のグラフがx軸とどのように位置しているかを教えてくれる、重要な指標なのです。