共変形式とは

1. 共変形式とは

共変形式（covariant form）は、物理学において座標系の変換に対して形式が変わらない表現方法のことです。つまり、どの座標系から見ても同じ形で物理法則が記述されるということです。

この概念は、特に相対性理論において極めて重要です。なぜなら、相対性理論では観測者の運動状態によって座標系が変わるからです。

2. なぜ共変形式が重要なのか

2.1 相対性原理との関係

相対性原理は「すべての慣性系で物理法則は同じ形で成り立つ」という原理です。これを数学的に表現するためには、物理法則が座標変換に対して共変である必要があります。

2.2 ローレンツ変換との関係

特殊相対性理論では、異なる慣性系間の変換はローレンツ変換で記述されます。物理法則がローレンツ変換に対して共変であることが、相対性原理の数学的表現です。

$$x’^\mu = \Lambda^\mu_\nu x^\nu$$

ここで、\(\Lambda^\mu_\nu\) はローレンツ変換行列、\(x^\mu\) は時空座標です。

3. 反変ベクトルと共変ベクトル

3.1 反変ベクトル（contravariant vector）

座標変換に対して、座標と同じように変換されるベクトルです：

$$A’^\mu = \Lambda^\mu_\nu A^\nu$$

例：4元位置ベクトル \(x^\mu = (ct, x, y, z)\)

3.2 共変ベクトル（covariant vector）

座標変換に対して、逆変換行列で変換されるベクトルです：

$$A’_\mu = (\Lambda^{-1})^\nu_\mu A_\nu$$

例：4元勾配 \(\partial_\mu = \left(\frac{\partial}{\partial ct}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right)\)

3.3 スカラー積の不変性

反変ベクトルと共変ベクトルのスカラー積は、座標変換に対して不変です：

$$A’^\mu B’_\mu = A^\mu B_\mu$$

これは、物理量が座標系に依存しないことを保証します。

4. 計量テンソル

4.1 ミンコフスキー計量

特殊相対性理論では、ミンコフスキー計量 \(\eta_{\mu\nu}\) が重要です：

$$\eta_{\mu\nu} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

この計量により、反変ベクトルと共変ベクトルを相互に変換できます：

$$A_\mu = \eta_{\mu\nu} A^\nu, \quad A^\mu = \eta^{\mu\nu} A_\nu$$

4.2 不変距離

時空間隔は計量テンソルを使って定義され、ローレンツ変換に対して不変です：

$$ds^2 = \eta_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu = c^2 dt^2 – dx^2 – dy^2 – dz^2$$

5. ディラック方程式の共変形式

5.1 ガンマ行列の導入

ディラック方程式を共変形式で書くために、ガンマ行列 \(\gamma^\mu\) を導入します：

これらの行列は以下の反交換関係を満たします：

$$\{\gamma^\mu, \gamma^\nu\} = \gamma^\mu\gamma^\nu + \gamma^\nu\gamma^\mu = 2\eta^{\mu\nu}I$$

ここで、\(\{\cdot, \cdot\}\) は反交換子、\(I\) は4×4単位行列です。

5.2 共変形式の完成

ガンマ行列を使用して、ディラック方程式の共変形式が得られます：

$$(i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu – mc)\psi = 0$$

この形式では：

6. 共変形式の利点

6.1 数学的美しさ

共変形式は、物理法則の数学的表現を美しく、対称的にします：

6.2 物理的意味

共変形式は、物理現象の本質を表現します：

7. 他の理論での応用

7.1 電磁気学

マクスウェル方程式も共変形式で書けます：

$$\partial_\mu F^{\mu\nu} = \mu_0 J^\nu$$

ここで、\(F^{\mu\nu}\) は電磁場テンソル、\(J^\nu\) は4元電流密度です。

7.2 一般相対性理論

一般相対性理論では、曲がった時空でも共変形式が重要です：

$$R_{\mu\nu} – \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = \frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$$

これはアインシュタイン方程式の共変形式です。

8. まとめ

共変形式は現代物理学の基礎概念です：

共変形式を理解することで、相対性理論の本質と、現代物理学の数学的構造を深く理解できます。