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減衰振動のノート
減衰振動の定式化
運動方程式から 3 種類の解まで
抵抗を受けるばねや振り子の運動方程式から、減衰振動・臨界減衰・過減衰の 3 種類の解を導く。抵抗の強さを変えて動きを見られる図つき。
読む
減衰振動
γ = 0.15 ω₀
抵抗の強さ
減衰振動
臨界減衰
過減衰
数学
det
A
=
a
d
−
b
c
\det A = ad - bc
det
A
=
a
d
−
b
c
行列式の計算方法
2×2 から余因子展開まで
c
1
y
1
+
c
2
y
2
c_1 y_1 + c_2 y_2
c
1
y
1
+
c
2
y
2
線形微分方程式の重ね合わせ
独立解の線形結合がなぜ一般解になるか
x
2
+
p
x
+
q
=
0
x^2 + px + q = 0
x
2
+
p
x
+
q
=
0
二次方程式
平方完成、解の公式と判別式
∑
f
(
n
)
(
0
)
n
!
x
n
\sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
∑
n
!
f
(
n
)
(
0
)
x
n
テイラー展開
関数を多項式で近づける
e
i
θ
e^{i\theta}
e
i
θ
Euler の公式
複素数の指数関数で cos と sin を扱う
A
cos
(
θ
+
ϕ
)
A\cos(\theta + \phi)
A
cos
(
θ
+
ϕ
)
三角関数の合成
cos と sin の和を 1 つの cos にまとめる
λ
2
+
p
λ
+
q
=
0
\lambda^2 + p\lambda + q = 0
λ
2
+
p
λ
+
q
=
0
定数係数の 2 階線形微分方程式
特性方程式と 3 つの場合
min
∑
(
y
i
−
f
)
2
\min \sum (y_i - f)^2
min
∑
(
y
i
−
f
)
2
最小二乗法
データに式を合わせる
f
x
=
f
y
=
0
f_x = f_y = 0
f
x
=
f
y
=
0
多変数の極値
停留点と、谷か峠かの見分け方
A
p
=
λ
p
A\mathbf{p} = \lambda\mathbf{p}
A
p
=
λ
p
行列で書く減衰振動
特性方程式は固有値の式
物理
sin
θ
≈
θ
\sin\theta \approx \theta
sin
θ
≈
θ
振り子の近似
sin θ ≈ θ はどこまで正しいか
δ
=
γ
T
d
\delta = \gamma T_d
δ
=
γ
T
d
対数減衰率と Q 値
減衰振動の減り方を 1 つの数で表す
Δ
A
≈
Δ
E
/
k
A
\Delta A \approx \Delta E / kA
Δ
A
≈
Δ
E
/
k
A
抵抗の形で何が変わるか
速さに比例・速さの 2 乗・摩擦
X
(
ω
)
X(\omega)
X
(
ω
)
強制振動と共鳴
外から揺らすと、どの振動数でいちばん揺れるか
L
q
¨
+
R
q
˙
+
q
/
C
=
0
L\ddot q + R\dot q + q/C = 0
L
q
¨
+
R
q
˙
+
q
/
C
=
0
RLC 回路
減衰振動と同じ式になる電気の振動
K
p
=
m
ω
2
p
K\mathbf{p} = m\omega^2\mathbf{p}
K
p
=
m
ω
2
p
連成振動
2 つのおもりの揺れを固有値で分ける
実験
γ
=
δ
/
T
d
\gamma = \delta / T_d
γ
=
δ
/
T
d
減衰振動のデータ解析
記録から減衰定数と Q 値を求める