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ノート
演習つきで「手を動かして覚える」LaTeX・物理・数学のノート。
行列式の計算方法 — 2×2 から余因子展開まで
2×2 行列式の ad − bc から始めて、3×3 の Sarrus、一般 n×n の余因子展開まで。計算を楽にする性質(行入替で符号反転・線形性)も。
線形微分方程式の重ね合わせ — 独立解の線形結合がなぜ一般解になるか
「2 階の線形微分方程式の一般解は、2 つの独立解の線形結合」と言われる仕組みを、線形作用素・線形空間の言葉で読み解く。重ね合わせが成り立つ理由と、なぜ任意定数の数が階数と一致するのか。
減衰振動の定式化 — 運動方程式から 3 種類の解まで
ばね・振り子・ねじり振り子に共通する減衰振動を、運動方程式から不足減衰・臨界減衰・過減衰の 3 種類の解まで導く。実験で測る抵抗係数 k と周期 T、対数減衰率の関係まで。
座標変換と行列 — 観測者の取り換えを行列で書く
ベクトルの成分が観測者によって変わる仕組みを、行列の作用として書き表す。回転・反転・ローレンツ変換を具体例で示し、線形な観測者の取り換えはすべて行列で表せることを示す。
共変性とは — 観測者を変えても物理が変わらないために
座標系=観測者を変えても物理は変わらないはず。でも量の成分は変換される。共変性とは何かを回転で導入し、なぜ素朴な微分が共変性を破るかを Leibniz で示す。
スピン接続 ω — スピノルを曲時空で微分する補正
曲がった時空でスピノルを共変微分するために必要なスピン接続 ω^{âb̂}_μ。動機・定義・Tetrad postulate での決定方法・反対称性を演習つきで解説。
Vierbein (四脚場) とは — 各点に立てる「フラットな見方」
曲がった時空にスピノルを置くのに必要な Vierbein 場 e^{â}_μ。定義・基本式・局所 Lorentz 自由度を、ハット添字規約と演習つきで段階的に解説。
ベクトルの外積 a × b — 計算方法・方向・大きさ
外積の定義 (向き・大きさ)、成分公式、基本ベクトルの関係、性質、物理 (トルク/ローレンツ力/角運動量) での使い方を演習つきで解説。
ナブラ ∇ とは — 勾配・発散・回転の使い方
物理・ベクトル解析で頻出の ∇ (ナブラ) の定義と、勾配 ∇f・発散 ∇·A・回転 ∇×A の意味・計算方法・物理での出番を具体例と演習で解説。
ラプラシアンとは — 何なのか、どこで使うのか、どう計算するのか
電磁気・拡散・波動・量子に出てくる 2 階微分の演算子 ∇²。定義・計算手順・ポアソン方程式での使い方を、演習つきで解説。
LaTeX で表を書く:横線・縦線・タイトル・中央寄せを全部カバー
tabular 環境の基本から、列の寄せ方・booktabs の罫線・キャプション・中央寄せ・列幅指定まで、どう書けばどう出るかを実例で。
LaTeX で複雑な数式を書く:amsmath パッケージ入門
align、行列、場合分け、数式フォント、数式中の日本語など、複雑な数式を書くための amsmath パッケージを演習つきで解説。
LaTeX をはじめる:環境構築ゼロで書く入門ガイド
LaTeX って何? から最小テンプレ・各コマンドの意味・基本の数式まで。はじめて触る人向けの演習つき入門。