1. はじめに
行列のランクは、線形代数において最も重要な概念の一つです。この記事では、ランクの定義、計算方法、そして実践的な応用を詳しく解説します。
2. 行列のランク
行列のランクは、線形独立な行（または列）の最大個数として定義されます。
2.1 ランクの意味
ランクは以下の重要な性質を持ちます
- 線形独立性 ランクは線形独立な行（列）の最大個数
- 解空間の次元 連立方程式の解空間の次元と関係
- 行列の「情報量」 ランクが高いほど多くの情報を含む
- 変換の次元 線形変換の像空間の次元
3. ランクの計算方法
3.1 行簡約階段形による計算
最も一般的な方法は、行簡約階段形に変形することです。
手順
- 行列を行基本変形で簡約階段形に変形
- 主成分（各行の最初の非零成分）の個数を数える
- 主成分の個数がランク
3.2 具体例：ランクの計算
行列
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
を行基本変形で階段形に変形します。
ステップ1：2行目の1列目を0にする
$$R_2 \to R_2 – 2R_1 : \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
ステップ2：3行目の1列目を0にする
$$R_3 \to R_3 – R_1 : \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix}$$
ステップ3：2行目と3行目を交換
$$R_2 \leftrightarrow R_3 : \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
ステップ4：2行目の主成分を1にする
$$R_2 \to -R_2 : \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
主成分が2個あるので、\(\text{rank}(A) = 2\)です。
4. ランクの応用
4.1 連立方程式への応用
連立方程式\(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\)について
- 解なし \(\text{rank}(A) < \text{rank}([A|\boldsymbol{b}])\)
- 一意解 \(\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\boldsymbol{b}]) = n\)
- 無数解 \(\text{rank}(A) = \text{rank}([A|\boldsymbol{b}]) < n\)
4.2 線形変換への応用
線形変換\(T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\)について
- 像空間の次元 \(\dim(\text{Im}(T)) = \text{rank}(A)\)
- 核空間の次元 \(\dim(\text{Ker}(T)) = n – \text{rank}(A)\)
- 全射性 \(\text{rank}(A) = m\)のとき全射
- 単射性 \(\text{rank}(A) = n\)のとき単射
5. 例題
5.1 ランクの例題
問題1：以下の行列のランクを求めよ
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 2 & 6 \\ 3 & 6 & 4 & 9 \end{pmatrix}$$
5.2 練習問題
問題2：以下の行列のランクを求めよ
$$E = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$$
6. まとめ
行列のランクについて、以下のポイントが重要です
- 定義 線形独立な行（列）の最大個数
- 計算方法 行簡約階段形の主成分の個数
- 応用 連立方程式の解の判定、線形変換の性質
- 効率化 行基本変形を体系的に実行
ランクは線形代数の基礎として、連立方程式の解法やベクトル空間の理解に不可欠な概念です。