減衰振動

1. 減衰振動とは

減衰振動は、抵抗や摩擦によってエネルギーが失われながら行われる振動です。現実の世界では、完全にエネルギーが保存される振動は存在せず、必ず何らかの減衰が伴います。

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1.1 減衰振動の例

2. 減衰振動の微分方程式

質量\(m\)の物体が、バネ定数\(k\)のバネと減衰係数\(c\)の抵抗を受けて振動する場合を考えます。

運動方程式は以下のようになります

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0$$

両辺を\(m\)で割ると

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{c}{m}\frac{dx}{dt} + \frac{k}{m}x = 0$$

ここで、\(\gamma = \frac{c}{2m}\)（減衰定数）、\(\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}\)（固有角振動数）とおくと

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\gamma\frac{dx}{dt} + \omega_0^2x = 0$$

3. 特性方程式と場合分け

減衰振動の解は、特性方程式の解の性質によって3つの場合に分けられます。

3.1 特性方程式

解を\(x(t) = e^{\lambda t}\)の形で仮定すると、特性方程式は

$$\lambda^2 + 2\gamma \lambda + \omega_0^2 = 0$$

この2次方程式の判別式は

$$D = (2\gamma)^2 – 4 \cdot 1 \cdot \omega_0^2 = 4(\gamma^2 – \omega_0^2)$$

特性方程式を解いて得られる2つの独立な特解を線形結合することで、一般解が得られます。任意定数をA、Bとして解を表します。

4. 3つの場合分け

4.1 減衰振動（\(\gamma < \omega_0\)）

判別式\(D < 0\)の場合です。これは減衰が小さく、振動が続く場合です。

判別式が負なので、複素解になります

$$\lambda = -\gamma \pm i\sqrt{\omega_0^2 – \gamma^2}$$

\(\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 – \gamma^2}\)（減衰振動の角振動数）とおくと

$$\lambda = -\gamma \pm i\omega_d$$

一般解は

$$x(t) = e^{-\gamma t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t)$$

初期条件\(x(0) = x_0\)、\(\dot{x}(0) = v_0\)から

$$A = x_0, \quad B = \frac{v_0 + \gamma x_0}{\omega_d}$$

4.2 臨界制動（\(\gamma = \omega_0\)）

判別式\(D = 0\)の場合です。これは減衰が臨界値で、最も早く平衡位置に戻る場合です。

重根\(\lambda = -\gamma\)を持つので、一般解は

$$x(t) = (A + Bt)e^{-\gamma t}$$

初期条件から

$$A = x_0, \quad B = v_0 + \gamma x_0$$

4.3 過減衰（\(\gamma > \omega_0\)）

判別式\(D > 0\)の場合です。これは減衰が大きく、振動せずに緩やかに平衡位置に近づく場合です。

実数解\(\lambda = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 – \omega_0^2}\)を持つので

$$x(t) = Ae^{\lambda_1 t} + Be^{\lambda_2 t}$$

ここで

$$\lambda_1 = -\gamma + \sqrt{\gamma^2 – \omega_0^2}, \quad \lambda_2 = -\gamma – \sqrt{\gamma^2 – \omega_0^2}$$

初期条件から係数を決定します。

5. 物理的意味

5.1 各場合の特徴

5.2 応用例

6. まとめ

減衰振動の解は、減衰定数\(\gamma\)と固有角振動数\(\omega_0\)の大小関係によって3つの場合に分けられます