1. はじめに
行列の行列式は、正方行列に対して定義される重要なスカラー値です。この記事では、行列式の定義、計算方法、そして幾何学的意味を詳しく解説します。
2. 行列式の定義
\(n \times n\)正方行列\(A = (a_{ij})\)の行列式は
$$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$$
ここで、\(S_n\)は\(n\)次の対称群、\(\text{sgn}(\sigma)\)は置換の符号です。
2.1 低次行列の行列式（特殊な方法）
低次行列には直接計算できる公式がありますが、高次行列では使えません。
2×2行列
$$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad – bc$$
3×3行列（サラスの公式）
$$\det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} – a_{13}a_{22}a_{31} – a_{11}a_{23}a_{32} – a_{12}a_{21}a_{33}$$
注意：これらの公式は2×2と3×3にのみ適用可能で、4×4以上の行列では使えません。
3. 行列式の計算方法
一般の行列式の計算には2つの主要な方法があります。
3.1 行基本変形による計算
行基本変形を使って上三角行列に変形し、対角成分の積を計算します。
- 行の交換 行列式の符号が変わる
- 行の定数倍 行列式が\(c\)倍される
- 行の加算 行列式は変化しない
3.2 余因子展開
\(i\)行目による余因子展開は
$$\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij}$$
ここで、\(C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(A_{ij})\)は余因子、\(A_{ij}\)は\(i\)行\(j\)列を除いた小行列です。
4. 具体例
4.1 行基本変形による計算例
行列
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
を行基本変形で上三角行列に変形して行列式を計算します。
ステップ1：1行目の1列目を1にする
$$R_1 \to \frac{1}{2}R_1 : \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \det = 2 \times \det$$
ステップ2：2行目の1列目を0にする
$$R_2 \to R_2 + R_1 : \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{7}{2} & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \det = 2 \times \det$$
ステップ3：3行目の1列目を0にする
$$R_3 \to R_3 – R_1 : \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{7}{2} & 2 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}, \quad \det = 2 \times \det$$
ステップ4：3行目の2列目を0にする
$$R_3 \to R_3 + \frac{1}{7}R_2 : \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{7}{2} & 2 \\ 0 & 0 & \frac{9}{7} \end{pmatrix}, \quad \det = 2 \times \det$$
上三角行列の行列式は対角成分の積なので、
$$\det(A) = 2 \times 1 \times \frac{7}{2} \times \frac{9}{7} = 2 \times \frac{9}{2} = 9$$
4.2 余因子展開による計算例
同じ行列
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
の1行目による余因子展開
- \(C_{11} = (-1)^{1+1} \det\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 3\)
- \(C_{12} = (-1)^{1+2} \det\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 3\)
- \(C_{13} = (-1)^{1+3} \det\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -3\)
したがって、
$$\det(A) = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot (-3) = 9$$
5. 行列式の性質
- \(\det(I) = 1\)（単位行列）
- \(\det(A^T) = \det(A)\)（転置）
- \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)（積）
- \(\det(cA) = c^n \det(A)\)（定数倍）
- 行の交換で符号が変わる
- \(\det(A) = 0 \Leftrightarrow A\)は正則でない
6. 幾何学的意味
6.1 2次元の場合
2×2行列の行列式は、2つのベクトルが張る平行四辺形の面積を表します。
$$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad – bc = \text{面積}$$
6.2 3次元の場合
3×3行列の行列式は、3つのベクトルが張る平行六面体の体積を表します。
6.3 符号の意味
行列式の符号は向きを表します
- 正 右手系（反時計回り）
- 負 左手系（時計回り）
- ゼロ ベクトルが線形従属
7. 例題
7.1 基本的な計算
問題1：以下の行列の行列式を求めよ
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix}$$
7.2 練習問題
問題2：以下の行列の行列式を求めよ
$$C = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
問題3：以下の行列の行列式を求めよ
$$D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$$
8. まとめ
行列式について、以下のポイントが重要です
- 定義 置換による形式的定義
- 計算方法 行基本変形、余因子展開
- 幾何学的意味 面積・体積・向き
- 応用 正則性の判定、連立方程式の解法
行列式は線形代数の基礎として、ベクトル空間の幾何学的性質を理解するのに不可欠な概念です。