減衰振動

1. 減衰振動とは

減衰振動は、抵抗や摩擦によってエネルギーが失われながら行われる振動です。現実の世界では、完全にエネルギーが保存される振動は存在せず、必ず何らかの減衰が伴います。

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1.1 減衰振動の例

2. 減衰振動の微分方程式

質量$m$の物体が、バネ定数$k$のバネと減衰係数$c$の抵抗を受けて振動する場合を考えます。

運動方程式は以下のようになります

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0$$

両辺を$m$で割ると

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{c}{m}\frac{dx}{dt} + \frac{k}{m}x = 0$$

ここで、$\gamma = \frac{c}{2m}$（減衰定数）、$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$（固有角振動数）とおくと

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\gamma\frac{dx}{dt} + \omega_0^2x = 0$$

3. 特性方程式と場合分け

減衰振動の解は、特性方程式の解の性質によって3つの場合に分けられます。

3.1 特性方程式

解を$x(t) = e^{\lambda t}$の形で仮定すると、特性方程式は

$$\lambda^2 + 2\gamma \lambda + \omega_0^2 = 0$$

この2次方程式の判別式は

D = (2\gamma)^2 – 4 \cdot 1 \cdot \omega_0^2 = 4(\gamma^2 – \omega_0^2)

特性方程式を解いて得られる2つの独立な特解を線形結合することで、一般解が得られます。任意定数をA、Bとして解を表します。

4. 3つの場合分け

4.1 減衰振動（$\gamma < \omega_0$）

判別式$D < 0$の場合です。これは減衰が小さく、振動が続く場合です。

判別式が負なので、複素解になります

\lambda = -\gamma \pm i\sqrt{\omega_0^2 &#8211; \gamma^2}

\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 &#8211; \gamma^2}（減衰振動の角振動数）とおくと

$$\lambda = -\gamma \pm i\omega_d$$

一般解は

$$x(t) = e^{-\gamma t}(A\cos\omega_d t + B\sin\omega_d t)$$

初期条件$x(0) = x_0$、$\dot{x}(0) = v_0$から

$$A = x_0, \quad B = \frac{v_0 + \gamma x_0}{\omega_d}$$

4.2 臨界制動（$\gamma = \omega_0$）

判別式$D = 0$の場合です。これは減衰が臨界値で、最も早く平衡位置に戻る場合です。

重根$\lambda = -\gamma$を持つので、一般解は

$$x(t) = (A + Bt)e^{-\gamma t}$$

初期条件から

$$A = x_0, \quad B = v_0 + \gamma x_0$$

4.3 過減衰（$\gamma > \omega_0$）

判別式$D > 0$の場合です。これは減衰が大きく、振動せずに緩やかに平衡位置に近づく場合です。

実数解\lambda = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 &#8211; \omega_0^2}を持つので

$$x(t) = Ae^{\lambda_1 t} + Be^{\lambda_2 t}$$

ここで

\lambda_1 = -\gamma + \sqrt{\gamma^2 &#8211; \omega_0^2}, \quad \lambda_2 = -\gamma &#8211; \sqrt{\gamma^2 &#8211; \omega_0^2}

初期条件から係数を決定します。

5. 物理的意味

5.1 各場合の特徴

5.2 応用例

6. まとめ

減衰振動の解は、減衰定数$\gamma$と固有角振動数$\omega_0$の大小関係によって3つの場合に分けられます