行列式の計算方法

1. はじめに

行列の行列式は、正方行列に対して定義される重要なスカラー値です。この記事では、行列式の定義、計算方法、そして幾何学的意味を詳しく解説します。

2. 行列式の定義

$n \times n$ 正方行列 $A = (a_{ij})$ の行列式は

$\det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i,\sigma(i)}$

ここで、 $S_n$ は $n$ 次の対称群、 $\text{sgn}(\sigma)$ は置換の符号です。

2.1 低次行列の行列式（特殊な方法）

低次行列には直接計算できる公式がありますが、高次行列では使えません。

2×2行列

$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad – bc$

3×3行列（サラスの公式）

$\det\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} – a_{13}a_{22}a_{31} – a_{11}a_{23}a_{32} – a_{12}a_{21}a_{33}$

注意：これらの公式は2×2と3×3にのみ適用可能で、4×4以上の行列では使えません。

3. 行列式の計算方法

一般の行列式の計算には2つの主要な方法があります。

3.1 行基本変形による計算

行基本変形を使って上三角行列に変形し、対角成分の積を計算します。

行の交換 行列式の符号が変わる
行の定数倍 行列式が $c$ 倍される
行の加算 行列式は変化しない

3.2 余因子展開

$i$ 行目による余因子展開は

$\det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij} C_{ij}$

ここで、 $C_{ij} = (-1)^{i+j} \det(A_{ij})$ は余因子、 $A_{ij}$ は $i$ 行 $j$ 列を除いた小行列です。

4. 具体例

4.1 行基本変形による計算例

行列

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

を行基本変形で上三角行列に変形して行列式を計算します。

ステップ1：1行目の1列目を1にする

$R_1 \to \frac{1}{2}R_1 : \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \det = 2 \times \det$

ステップ2：2行目の1列目を0にする

$R_2 \to R_2 + R_1 : \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{7}{2} & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \det = 2 \times \det$

ステップ3：3行目の1列目を0にする

$R_3 \to R_3 – R_1 : \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{7}{2} & 2 \\ 0 & -\frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix}, \quad \det = 2 \times \det$

ステップ4：3行目の2列目を0にする

$R_3 \to R_3 + \frac{1}{7}R_2 : \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{7}{2} & 2 \\ 0 & 0 & \frac{9}{7} \end{pmatrix}, \quad \det = 2 \times \det$

上三角行列の行列式は対角成分の積なので、

$\det(A) = 2 \times 1 \times \frac{7}{2} \times \frac{9}{7} = 2 \times \frac{9}{2} = 9$

4.2 余因子展開による計算例

同じ行列

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

の1行目による余因子展開

$C_{11} = (-1)^{1+1} \det\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 3$
$C_{12} = (-1)^{1+2} \det\begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 3$
$C_{13} = (-1)^{1+3} \det\begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = -3$

したがって、

$\det(A) = 2 \cdot 3 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot (-3) = 9$

5. 行列式の性質

$\det(I) = 1$ （単位行列）
$\det(A^T) = \det(A)$ （転置）
$\det(AB) = \det(A)\det(B)$ （積）
$\det(cA) = c^n \det(A)$ （定数倍）
行の交換で符号が変わる
$\det(A) = 0 \Leftrightarrow A$ は正則でない

6. 幾何学的意味

6.1 2次元の場合

2×2行列の行列式は、2つのベクトルが張る平行四辺形の面積を表します。

$\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad – bc = \text{面積}$

6.2 3次元の場合

3×3行列の行列式は、3つのベクトルが張る平行六面体の体積を表します。

6.3 符号の意味

行列式の符号は向きを表します

正右手系（反時計回り）
負左手系（時計回り）
ゼロベクトルが線形従属

7. 例題

7.1 基本的な計算

問題1：以下の行列の行列式を求めよ

$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix}$

問題1の解答

行基本変形による計算

ステップ1：2行目の1列目を0にする

$R_2 \to R_2 – R_1 : \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 6 \end{pmatrix}, \quad \det = \det$

ステップ2：3行目の1列目を0にする

$R_3 \to R_3 – R_1 : \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}, \quad \det = \det$

ステップ3：3行目の2列目を0にする

$R_3 \to R_3 – 2R_2 : \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \det = \det$

上三角行列の行列式は対角成分の積なので、

$\det(B) = 1 \times 1 \times 1 = 1$

7.2 練習問題

問題2：以下の行列の行列式を求めよ

$C = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

答え： $\det(C) = -13$

問題3：以下の行列の行列式を求めよ

$D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

答え： $\det(D) = 24$

8. まとめ

行列式について、以下のポイントが重要です

定義置換による形式的定義
計算方法 行基本変形、余因子展開
幾何学的意味 面積・体積・向き
応用正則性の判定、連立方程式の解法

行列式は線形代数の基礎として、ベクトル空間の幾何学的性質を理解するのに不可欠な概念です。