1. 減衰振動とは 動機

振り子・ばね・ねじり振り子のような復元力を持つ系に、 速度に比例する抵抗(粘性抵抗)が加わった運動を、まとめて減衰振動と呼びます。

抵抗の強さによって振る舞いが質的に変わる、というのがこの系の面白いところ

  • 抵抗が弱いと:振動が続きながら、振幅だけがじわじわ減る
  • 抵抗が強いと:振動せず、平衡位置にゆっくり戻る
  • ちょうど境目では:最も速く戻って、振動しない(臨界減衰)

この記事の目標は、運動方程式 1 本からスタートして、これら 3 種類の解を順序立てて導くこと。

2. 運動方程式と標準形 定義

ばねにつないだ質量 mm の物体に働く力は次の 2 つ

  • 復元力:変位 xx に逆らう、Hooke 型 −kspr x-k_{\mathrm{spr}}\,x
  • 抵抗力:速度 x˙\dot x に逆らう、粘性型 −b x˙-b\,\dot x

ニュートン則 mx¨=Fm\ddot x = F に代入して整理すると、 x˙,x¨\dot x, \ddot x と xx が線形に組み合わさった、いわゆる2 階の線形微分方程式

m x¨+b x˙+kspr x=0m\,\ddot{x} + b\,\dot{x} + k_{\mathrm{spr}}\,x = 0

このまま扱ってもよいが、両辺を mm で割って 2 つのパラメータでまとめると見通しがよい

x¨+2k x˙+ω02 x=0\ddot{x} + 2k\,\dot{x} + \omega_{0}^{2}\,x = 0

ここで定義した量

2k≡bm,ω02≡ksprm2k \equiv \frac{b}{m},\qquad \omega_{0}^{2} \equiv \frac{k_{\mathrm{spr}}}{m}

kk は抵抗係数(減衰の速さ、単位は s−1\mathrm{s}^{-1})、 ω0\omega_{0} は固有角振動数(抵抗がないときの振動数、単位は rad/s)。 以降の議論はこの 2 つの量だけで進みます。

注:ねじり振り子なら x→θx \to \theta、m→Im \to I(慣性モーメント)、 kspr→ck_{\mathrm{spr}} \to c(ねじり係数)に置き換えるだけで同じ式になります。

3. 特性方程式 — 試行関数を代入する 派生関係

こういった「変数の関数とその微分が線形に並ぶ、係数が時間によらない」タイプの微分方程式を解く定石は、指数関数を試す。 理由は、指数関数 eλte^{\lambda t} は何回微分しても λ\lambda 倍がかかるだけで形が変わらず、 各項を共通の eλte^{\lambda t} でくくれるから。

試行関数

x(t)=eλtx(t) = e^{\lambda t}

代入 (x˙=λeλt, x¨=λ2eλt\dot x = \lambda e^{\lambda t},\ \ddot x = \lambda^{2}e^{\lambda t}) して eλte^{\lambda t} でくくると、 eλt≠0e^{\lambda t} \neq 0 なので残るのは λ\lambda についての二次方程式 ── これを特性方程式と呼びます

λ2+2k λ+ω02=0\lambda^{2} + 2k\,\lambda + \omega_{0}^{2} = 0

解の公式から

λ=−k±k2−ω02\lambda = -k \pm \sqrt{k^{2} - \omega_{0}^{2}}

根号の中身は D=k2−ω02D = k^{2} - \omega_{0}^{2}。これが正・ゼロ・負のどれかで、解の質が変わります。

演習 #1

特性方程式

λ2+2k λ+ω02=0\lambda^{2} + 2k\,\lambda + \omega_{0}^{2} = 0

を、運動方程式

x¨+2k x˙+ω02 x=0\ddot{x} + 2k\,\dot{x} + \omega_{0}^{2}\,x = 0

に試行関数 x(t)=eλtx(t) = e^{\lambda t} を代入することで導いてみよう。

▶ 解答を見る

x(t)=eλtx(t) = e^{\lambda t} を微分:

x˙=λ eλt,x¨=λ2 eλt.\dot{x} = \lambda\,e^{\lambda t},\qquad \ddot{x} = \lambda^{2}\,e^{\lambda t}.

これを運動方程式に代入:

λ2 eλt+2k λ eλt+ω02 eλt=0\lambda^{2}\,e^{\lambda t} + 2k\,\lambda\,e^{\lambda t} + \omega_{0}^{2}\,e^{\lambda t} = 0

eλte^{\lambda t} で括ると:

(λ2+2k λ+ω02) eλt=0.\bigl(\lambda^{2} + 2k\,\lambda + \omega_{0}^{2}\bigr)\,e^{\lambda t} = 0.

eλt≠0e^{\lambda t} \neq 0 なので、括弧内が 0:

λ2+2k λ+ω02=0.✓\lambda^{2} + 2k\,\lambda + \omega_{0}^{2} = 0. \quad \checkmark

これが特性方程式。λ\lambda は二次方程式の解として求まる。

4. 判別式で 3 ケースに分かれる 派生関係

判別式

D≡k2−ω02D \equiv k^{2} - \omega_{0}^{2}

の符号で次の 3 通りに分類

  • D<0D < 0(k<ω0k < \omega_{0}): 減衰振動 ── 根が複素 → 振動する解
  • D=0D = 0(k=ω0k = \omega_{0}): 臨界減衰 ── 重根 → 振動と非振動の境目
  • D>0D > 0(k>ω0k > \omega_{0}): 過減衰 ── 根が異なる実数 → 振動せず減衰

以下、各ケースで一般解を導きます。3 ケースを並べて描いたのが下の図(初期条件 x(0)=1, x˙(0)=0x(0)=1,\ \dot x(0)=0、ω0=1\omega_{0}=1)。

x(t) curves for underdamped, critical, and overdamped cases
3 ケースの比較:減衰振動(coral, k=0.15)、臨界減衰(mango, k=1.0)、過減衰(sky, k=2.0)

5. (a) 減衰振動の解 (D < 0) 派生関係

根号の中身が負なので、ここで正の実数 ωd≡ω02−k2\omega_{d} \equiv \sqrt{\omega_{0}^{2} - k^{2}} を導入して整理

λ±=−k±i ωd,ωd≡ω02−k2\lambda_{\pm} = -k \pm i\,\omega_{d},\qquad \omega_{d} \equiv \sqrt{\omega_{0}^{2} - k^{2}}

複素指数解 eλ±t=e−kt e±iωdte^{\lambda_{\pm}t} = e^{-kt}\,e^{\pm i\omega_{d}t} を Euler の公式で実部・虚部に分けると、 線形独立な 2 つの実数解 e−ktcos⁡ωdt, e−ktsin⁡ωdte^{-kt}\cos\omega_{d}t,\ e^{-kt}\sin\omega_{d}t が得られます。一般解は線形結合

x(t)=e−kt(C1cos⁡ωdt+C2sin⁡ωdt)x(t) = e^{-kt}\bigl(C_{1}\cos\omega_{d}t + C_{2}\sin\omega_{d}t\bigr)

振幅と位相の形に書き直すと、よく見る形になります(A=C12+C22, tan⁡ϕ=−C2/C1A = \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}},\ \tan\phi = -C_{2}/C_{1})

x(t)=A e−kt cos⁡ ⁣(ωd t+ϕ)x(t) = A\,e^{-kt}\,\cos\!\bigl(\omega_{d}\,t + \phi\bigr)

振幅が e−kte^{-kt} で減衰しながら、角振動数 ωd\omega_{d} で振動する解。 ωd<ω0\omega_{d} < \omega_{0} なので、減衰があると振動の周期は長くなる。

underdamped x(t) with decaying envelope ±A e^{-kt}
振幅の減衰の様子:振動 x(t)(coral)を、上下の ±A e−kt(破線)で挟むと、振幅がその線に沿って指数的に下がっていく
演習 #2

減衰振動の場合 (k<ω0k < \omega_{0}) について、特性方程式の根が

λ±=−k±i ωd,ωd=ω02−k2\lambda_{\pm} = -k \pm i\,\omega_{d},\qquad \omega_{d} = \sqrt{\omega_{0}^{2} - k^{2}}

になることを確かめ、複素指数 eλ±te^{\lambda_{\pm} t} を実数の 解

x(t)=e−kt(C1cos⁡ωdt+C2sin⁡ωdt)x(t) = e^{-kt}\bigl(C_{1}\cos\omega_{d}t + C_{2}\sin\omega_{d}t\bigr)

の形に整理する手順を書こう。

▶ 解答を見る

根の確認:判別式は D=k2−ω02<0D = k^{2} - \omega_{0}^{2} < 0 なので根号の中が負。
ここで ωd≡ω02−k2\omega_{d} \equiv \sqrt{\omega_{0}^{2} - k^{2}} と置く(これは正の実数)と、

k2−ω02=−(ω02−k2)=i ωd.\sqrt{k^{2} - \omega_{0}^{2}} = \sqrt{-(\omega_{0}^{2} - k^{2})} = i\,\omega_{d}.

したがって:

λ±=−k±i ωd.✓\lambda_{\pm} = -k \pm i\,\omega_{d}. \quad \checkmark

実数解への整理:2 つの複素指数解は

eλ+t=e−kt eiωdt,eλ−t=e−kt e−iωdt.e^{\lambda_{+}t} = e^{-kt}\,e^{i\omega_{d}t},\qquad e^{\lambda_{-}t} = e^{-kt}\,e^{-i\omega_{d}t}.

物理量 x(t)x(t) は実数なので、Euler の公式 e±iωdt=cos⁡ωdt±isin⁡ωdte^{\pm i\omega_{d}t} = \cos\omega_{d}t \pm i\sin\omega_{d}t を使って実部・虚部に分け、独立な 2 つの実数解として

e−ktcos⁡ωdt,e−ktsin⁡ωdte^{-kt}\cos\omega_{d}t,\qquad e^{-kt}\sin\omega_{d}t

を取り出す。一般解は両者の線形結合:

x(t)=e−kt(C1cos⁡ωdt+C2sin⁡ωdt).✓x(t) = e^{-kt}\bigl(C_{1}\cos\omega_{d}t + C_{2}\sin\omega_{d}t\bigr). \quad \checkmark

意味:振幅が e−kte^{-kt} で減衰しつつ、角振動数 ωd\omega_{d} で振動する解。
振動数 ωd\omega_{d} は減衰がないとき (k=0k = 0) の ω0\omega_{0} より小さい(減衰のせいで戻ってくるのに時間がかかる)。

6. (b) 臨界減衰の解 (D = 0) 派生関係

判別式がゼロのとき、特性方程式は重根を持ちます

λ=−k(重根)\lambda = -k \quad (\text{重根})

ところが、これだと指数関数解は e−kte^{-kt} ただ 1 つ。 2 階微分方程式の一般解には互いに独立な 2 つの解が必要なので、もう 1 つ別の形を探さないといけません(なぜ「2 つ」なのかは 線形微分方程式の重ね合わせ 参照)。

2 つ目の解は t e−ktt\,e^{-kt}

一般に、特性方程式が λ=λ0\lambda = \lambda_{0} を重根として持つときは、 eλ0te^{\lambda_{0}t} と t eλ0tt\,e^{\lambda_{0}t} が独立な 2 解になります(係数が定数の 2 階線形微分方程式での標準的な事実)。 臨界減衰のケースでは λ0=−k\lambda_{0} = -k なので 2 つ目は t e−ktt\,e^{-kt}。 実際に運動方程式を満たすことは演習 #3 で確認できます。

一般解はこれらの線形結合

x(t)=(A+B t) e−ktx(t) = (A + B\,t)\,e^{-kt}

振動はせず、最初の te−ktt e^{-kt} 部分で短時間だけ膨らんでから減衰する。 初期条件次第では「行き過ぎずに最も速く戻る」軌道で、ドアクローザーや計測器の指針のチューニングで好まれる挙動。

演習 #3

臨界減衰 (k=ω0k = \omega_{0}) は特性方程式が重根 λ=−k\lambda = -k を持つ場合。

このとき e−kte^{-kt} しか得られないと、独立な解が 1 つしかなく、2 階微分方程式の一般解として足りない。
2 つ目の独立解として t e−ktt\,e^{-kt} が取れることを、運動方程式に代入して確認しよう。

▶ 解答を見る

x(t)=t e−ktx(t) = t\,e^{-kt} を微分:

x˙=e−kt−k t e−kt=(1−kt) e−kt,\dot{x} = e^{-kt} - k\,t\,e^{-kt} = (1 - kt)\,e^{-kt},

x¨=−k e−kt−k (1−kt) e−kt=(−2k+k2t) e−kt.\ddot{x} = -k\,e^{-kt} - k\,(1 - kt)\,e^{-kt} = (-2k + k^{2}t)\,e^{-kt}.

運動方程式 x¨+2k x˙+ω02 x=0\ddot{x} + 2k\,\dot{x} + \omega_{0}^{2}\,x = 0 に代入(e−kte^{-kt} を共通因子として括る):

[ (−2k+k2t)+2k (1−kt)+ω02 t ] e−kt.\Bigl[\,(-2k + k^{2}t) + 2k\,(1 - kt) + \omega_{0}^{2}\,t\,\Bigr]\,e^{-kt}.

中身を整理:

−2k+k2t+2k−2k2t+ω02 t=(ω02−k2) t.-2k + k^{2}t + 2k - 2k^{2}t + \omega_{0}^{2}\,t = (\omega_{0}^{2} - k^{2})\,t.

臨界 k=ω0k = \omega_{0} では ω02−k2=0\omega_{0}^{2} - k^{2} = 0 なので、結果はゼロ:

[ (ω02−k2) t ] e−kt=0.✓\Bigl[\,(\omega_{0}^{2} - k^{2})\,t\,\Bigr]\,e^{-kt} = 0. \quad \checkmark

つまり t e−ktt\,e^{-kt} も解。e−kte^{-kt} と線形独立なので、これらの組み合わせで一般解が書ける:

x(t)=(A+B t) e−kt.x(t) = (A + B\,t)\,e^{-kt}.

注意:重根が出るのは「振動と非振動のちょうど境目」なので、係数を細かく調整したときに自然に出てくる挙動。

7. (c) 過減衰の解 (D > 0) 派生関係

判別式が正なら、根号の中も正で根号自身も実数。 特性方程式は異なる 2 つの実数根を持ち、両者とも負(k>0, k>k2−ω02k > 0,\ k > \sqrt{k^{2} - \omega_{0}^{2}})です

λ±=−k±k2−ω02    (<0)\lambda_{\pm} = -k \pm \sqrt{k^{2} - \omega_{0}^{2}}\;\;(<0)

指数関数の和が一般解

x(t)=A eλ+t+B eλ−tx(t) = A\,e^{\lambda_{+}t} + B\,e^{\lambda_{-}t}

2 つの指数 (異なる崩壊率) が単に重なって減衰するだけで、振動は起きない。 長時間後は、ゆっくりな方の λ+=−k+k2−ω02\lambda_{+} = -k + \sqrt{k^{2}-\omega_{0}^{2}}(これは負だが絶対値が小さい)が支配的に残る。