減衰振動の定式化

01抵抗で揺れ方が変わる

ばねや振り子に速さに比例する抵抗がかかると、揺れ方は抵抗の強さで変わります。抵抗の強さを変えてみてください。

減衰振動γ = 0.15 ω₀

抵抗の強さ

弱い:揺れながら小さくなる
ちょうど境目:揺れずに戻る
強い:揺れずに、ゆっくり戻る

なぜ 3 通りに分かれるのか。運動方程式を解いて確かめます。

02運動方程式

まず、おもりの動きを式にします。質量 $m$ のおもりの、つり合いの位置からのずれを $x$ とすると、働く力はばねの力と抵抗の 2 つです。

壁につないだばねとおもり。ばねの力 −kx と抵抗 −bẋ が、どちらもずれや速さと反対向きに働く — ばねの力はずれと反対向き、抵抗は速さと反対向き

ニュートンの運動方程式 $m\ddot x = -kx - b\dot x$ を整理して、両辺を $m$ で割ると

m\,\ddot{x} + b\,\dot{x} + k\,x = 0

減衰振動の運動方程式

\ddot{x} + 2\gamma \,\dot{x} + \omega_{0}^{2}\,x = 0

2\gamma \equiv b/m

\omega_{0}^{2} \equiv k/m

$\gamma$ は減衰定数(抵抗の強さを表す)、 $\omega_0$ は抵抗がないときの角振動数で、どちらも単位は $\mathrm{s}^{-1}$ です。 $m, k, b$ はすべて正とします。

縦のばねでも、ずれをつり合いの位置から測れば重力は消えて同じ式です。振り子(糸の長さ $\ell$ )は、振れが小さく(振り子の近似) $\sin\theta \approx \theta$ とみなせ、抵抗が角速度に比例するとき、 $x \to \theta$ 、 $\omega_0^2 = g/\ell$ で同じ式になります( $\gamma$ はその抵抗の係数で決まる別の値)。

03なぜ 3 通りに分かれるか

この式は定数係数の 2 階線形微分方程式なので、 $x = e^{\lambda t}$ を入れると特性方程式になります。その解を、 $x(t)$ と区別して根と呼びます(解き方の全体は定数係数の 2 階線形微分方程式)。

\lambda^{2} + 2\gamma \,\lambda + \omega_{0}^{2} = 0

\lambda = -\gamma \pm \sqrt{\gamma ^{2} - \omega_{0}^{2}}

$\lambda$ の二次方程式なので、根号の中 $\gamma^2 - \omega_0^2$ の符号で、根の種類が 3 通りに分かれます(二次方程式)。

$\gamma < \omega_0$ :根が複素数 $-\gamma \pm i\omega_d$ 。 $e^{\pm i\omega_d t} = \cos\omega_d t \pm i\sin\omega_d t$ なので揺れる(Euler の公式)。
$\gamma = \omega_0$ :根が重なる(重根)。揺れの境目。
$\gamma > \omega_0$ :根が 2 つとも負の実数。指数関数で減るだけで揺れない。

これが 3 通りに分かれる理由です。以下、それぞれの解を書きます。

04抵抗が弱いとき ( $\gamma < \omega_0$ ):減衰振動

根が複素数のとき、実数の解はどう書けるか。この揺れ方を減衰振動と呼びます。

\lambda = -\gamma \pm i\,\omega_{d},\qquad \omega_{d} \equiv \sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma ^{2}}

\begin{gathered}\lambda = -\gamma \pm i\,\omega_{d},\\[4pt]\omega_{d} \equiv \sqrt{\omega_{0}^{2} - \gamma ^{2}}\end{gathered}

減衰振動の一般解

\begin{aligned} x(t) &= e^{-\gamma t}\bigl(C_{1}\cos\omega_{d}t + C_{2}\sin\omega_{d}t\bigr) \\ &= A\,e^{-\gamma t}\cos(\omega_{d}t + \phi) \end{aligned}

\omega_d \equiv \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}

振幅は $A\,e^{-\gamma t}$ で小さくなり、周期 $T_d$ (同じ向きに 0 を通る間隔)は抵抗がないときより長くなります(2 行目の形への書きかえは三角関数の合成。 $C_1, C_2$ は実数で、最初の位置と速さで決まる。演習 1)。

T_{d} = \frac{2\pi}{\omega_{d}} > \frac{2\pi}{\omega_{0}}

減衰振動の x(t) と、それを挟む ±A e^{−γt} の線 — *x(t)*(紺)は、破線 *±A e^−γt* の間で揺れながら小さくなる

例題 1 $m = 0.200\ \mathrm{kg},\ k = 12.3\ \mathrm{N/m},\ b = 0.100\ \mathrm{kg/s}$ のおもりは、どう揺れるか。

\gamma = \frac{b}{2m} = 0.250\ \mathrm{s^{-1}},\qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = 7.84\ \mathrm{s^{-1}}

\begin{gathered}\gamma = \frac{b}{2m} = 0.250\ \mathrm{s^{-1}},\\[4pt]\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}} = 7.84\ \mathrm{s^{-1}}\end{gathered}

$\gamma < \omega_0$ なので減衰振動です。

\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} = 7.84\ \mathrm{s^{-1}},\qquad T_d = \frac{2\pi}{\omega_d} = 0.802\ \mathrm{s}

\begin{gathered}\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2} = 7.84\ \mathrm{s^{-1}},\\[4pt]T_d = \frac{2\pi}{\omega_d} = 0.802\ \mathrm{s}\end{gathered}

振幅は 1 周期ごとに $e^{-\gamma T_d} = 0.82$ 倍になります。 $\gamma$ が $\omega_0$ よりずっと小さいので、周期は抵抗がないときとほとんど同じです。

山の高さの比から $\gamma$ を測る方法は対数減衰率と Q 値。

演習 1

抵抗が弱いとき ( $\gamma < \omega_0$ ) の一般解

$x(t) = e^{-\gamma t}\bigl(C_{1}\cos\omega_{d}t + C_{2}\sin\omega_{d}t\bigr)$

で、最初の位置 $x(0) = x_0$ と速さ $\dot x(0) = v_0$ から $C_1, C_2$ を決めよう。

答えを見る

$t = 0$ を入れると $x(0) = C_1$ なので $C_1 = x_0$ 。

微分すると(積の微分)

$\begin{aligned} \dot x(t) = e^{-\gamma t}\Bigl[&(-\gamma C_1 + \omega_d C_2)\cos\omega_d t \\ &+ (-\gamma C_2 - \omega_d C_1)\sin\omega_d t\Bigr] \end{aligned}$

$t = 0$ では $\dot x(0) = -\gamma C_1 + \omega_d C_2$ 。これが $v_0$ なので

$C_1 = x_0,\qquad C_2 = \frac{v_0 + \gamma \,x_0}{\omega_d}.$ $\begin{gathered}C_1 = x_0,\\[4pt]C_2 = \frac{v_0 + \gamma \,x_0}{\omega_d}.\end{gathered}$

たとえば $x_0 = 1,\ v_0 = 0$ (正の向きに 1 だけずらして、そっと離す)なら $C_2 = \gamma /\omega_d$ です。

05ちょうど境目のとき ( $\gamma = \omega_0$ ):臨界減衰

根が重なると、指数関数の解は 1 つしか出ません。2 つ目の解は $t\,e^{-\gamma t}$ で(重根のときの解)

臨界減衰の一般解

x(t) = (C_{1} + C_{2}\,t)\,e^{-\gamma t}

揺れません。 $C_1 + C_2 t = 0$ となる $t$ は多くても 1 つなので、つり合いの位置を通り越すのは最初の勢いしだいで多くても 1 回です(演習 2)。

演習 2

臨界減衰 ( $\gamma = \omega_0$ ) で、 $x(0) = 1$ 、 $\dot x(0) = -3\gamma$ (つり合いの位置に向かって勢いよく押し出す)とする。
おもりがつり合いの位置を通り越す時刻を求めよう。

答えを見る

$x = (C_1 + C_2 t)e^{-\gamma t}$ で $x(0) = C_1 = 1$ 。

$\dot x(t) = (C_2 - \gamma C_1 - \gamma C_2 t)\,e^{-\gamma t}$

より $\dot x(0) = C_2 - \gamma = -3\gamma$ 、つまり $C_2 = -2\gamma$ 。

$x(t) = (1 - 2\gamma t)\,e^{-\gamma t}$

$x = 0$ になるのは $1 - 2\gamma t = 0$ のときだけなので、通り越すのは $t = 1/(2\gamma )$ の 1 回です。その後は負の側から 0 に近づき、もう 0 を横切りません。

06抵抗が強いとき ( $\gamma > \omega_0$ ):過減衰

根が異なる 2 つの実数なら、解は 2 つの指数関数の和です。

\lambda_{\pm} = -\gamma \pm \sqrt{\gamma ^{2} - \omega_{0}^{2}}

過減衰の一般解

x(t) = C_{1}\,e^{\lambda_{+}t} + C_{2}\,e^{\lambda_{-}t}

\lambda_\pm = -\gamma \pm \sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2}

$\sqrt{\gamma^2 - \omega_0^2} < \gamma$ なので根は 2 つとも負で、揺れずに減ります。 $x = 0$ は $e^{(\lambda_+ - \lambda_-)t} = -C_2/C_1$ ( $C_1 \neq 0$ )で、左辺は増える一方なので、通り越すのはやはり多くても 1 回です。

07どれがいちばん速く止まるか

ドアクローザーや計器の針のように、早く止めたいときに知りたいことです。 $x(0) = 1,\ \dot x(0) = 0$ 、 $\omega_0 = 1$ の 3 つの動きを並べると

減衰振動・臨界減衰・過減衰の x(t) を並べた図 — 紺の実線 = 減衰振動 (γ = 0.15)、灰色の破線 = 臨界減衰 (γ = 1.0)、薄い青 = 過減衰 (γ = 2.0)

答えは比べ方で変わります。 $\omega_0$ を固定して $\gamma$ だけを変えます。

長い時間がたったあとの減り方

ずれは最後には $e^{-rt}$ のように減ります。解の形から

r(\gamma ) = \begin{cases} \gamma & (\gamma < \omega_0) \\ \omega_0 & (\gamma = \omega_0) \\ \gamma - \sqrt{\gamma ^2 - \omega_0^2} & (\gamma > \omega_0) \end{cases}

過減衰の $r$ は

\gamma - \sqrt{\gamma ^2 - \omega_0^2} = \frac{\omega_0^2}{\gamma + \sqrt{\gamma ^2 - \omega_0^2}} < \frac{\omega_0^2}{\omega_0} = \omega_0

なので、 $r$ がいちばん大きいのは臨界減衰です。

減衰振動の $r$ は振幅の減り方。臨界減衰は $t$ の因子があるので、 $\omega_0$ より小さいどんな $r$ の $e^{-rt}$ よりも速く減る、という意味で $r = \omega_0$ 。過減衰で $C_1 = 0$ となる特別な初期値では、速いほうの $\lambda_-$ だけで減り、臨界減衰より速くなります。

決めた幅に収まるまでの時間

ずれが最初のずれの 5%(0.05)以内に収まって、もう出なくなるまでの時間で比べると、臨界減衰は約 $4.7/\omega_0$ 、 $\gamma \approx 0.7\,\omega_0$ では約 $2.9/\omega_0$ で、こちらがいちばん短くなります(数値計算)。少し行き過ぎても、そのぶん速く近づくためです。