線形微分方程式の重ね合わせ — 独立解の線形結合がなぜ一般解になるか

1.「独立解 + 任意定数」って何? 動機

物理の問題で 2 階の微分方程式が出てくると、解として

$x(t) = c_1\,x_1(t) + c_2\,x_2(t)$

のような形が 「一般解」として書かれます。 $x_1, x_2$ は独立な 2 つの解、 $c_1, c_2$ は任意定数。

疑問が 2 つ:

なぜ和の形で書ける? — 2 つの解を足したものも、また解になっている?
なぜ「2 個」なのか? — 3 個でも 1 個でもなく、ちょうど 2 個の任意定数で全部の解が書ける?

答えはどちらも線形性に行き着きます。以下、ステップを追って見ていきます。

2. 線形微分方程式と線形作用素定義

微分方程式が「線形」であるとは、左辺をひとつの線形作用素 $L$ にまとめて書けるという意味です。

L[x] \;\equiv\; a_n(t)\,x^{(n)} + a_{n-1}(t)\,x^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,\dot x + a_0(t)\,x \;=\; 0

ここで $L$ が線形作用素とは、関数 $x(t)$ を別の関数 $L[x](t)$ に変える操作のうち、次の 2 つの性質を満たすもの。

L[\,x_1 + x_2\,] = L[x_1] + L[x_2],\qquad L[\,c\,x\,] = c\,L[x]

意味:

先に足してから $L$ を作用させる のと、 先に $L$ を作用させてから足す のが同じ結果になる
先に $c$ 倍してから作用 と、 作用してから $c$ 倍 が一致する

具体例:微分 $d/dt$ は線形作用素(和の微分は微分の和、定数倍の微分は微分の定数倍)。関数を $a(t)$ 倍する操作も線形。線形 ODE の左辺は、微分と関数倍を組み合わせて作るので全体としても線形 ── これが $L$ です。

物理に出てくる方程式の多くが線形 ── 単振動 $\ddot x + \omega^{2} x = 0$ 、波動方程式、Maxwell 方程式、Schrödinger 方程式など。一方、 $\ddot x + x^{3} = 0$ ( $x^{3}$ の項)や $\dot x = x^{2}$ などは非線形で、以下の話は成り立たない。

3. 重ね合わせ — 解の和も解派生関係

線形作用素の性質から、ひとつ大事な結果がすぐ出ます。 $x_1, x_2$ がともに $L[x] = 0$ の解 ( $L[x_1] = L[x_2] = 0$ ) のとき、任意の定数 $c_1, c_2$ について $c_1 x_1 + c_2 x_2$ もまた解になる:

L[\,c_1 x_1 + c_2 x_2\,] = c_1\,L[x_1] + c_2\,L[x_2] = c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 0 = 0

これを重ね合わせの原理と呼びます。線形性の 2 つの性質を使うだけで一発で出ます(演習 #1)。

数学の言葉で言うと、線形 ODE の解の集合は線形空間(ベクトル空間)を成すということ ── 解どうしの和もスカラー倍も、また解の集合に入っているからです。

演習 #1

重ね合わせの確認. 線形 ODE $L[x] = 0$ の解 $x_1(t), x_2(t)$ があるとする。
このとき、任意の定数 $c_1, c_2$ について $c_1 x_1 + c_2 x_2$ もまた $L[x] = 0$ の解になることを、
線形作用素 $L$ の線形性

$L[\,x_1 + x_2\,] = L[x_1] + L[x_2],\qquad L[\,c\,x\,] = c\,L[x]$

から示そう。

▶ 解答を見る

$L[c_1 x_1 + c_2 x_2]$ を、線形性を 2 段階で適用して展開する。

まず和の線形性:

$L[c_1 x_1 + c_2 x_2] = L[c_1 x_1] + L[c_2 x_2].$

次にスカラー倍の線形性:

$L[c_1 x_1] = c_1\,L[x_1],\qquad L[c_2 x_2] = c_2\,L[x_2].$

合わせて:

$L[c_1 x_1 + c_2 x_2] = c_1\,L[x_1] + c_2\,L[x_2].$

仮定より $L[x_1] = 0$ , $L[x_2] = 0$ なので、

$L[c_1 x_1 + c_2 x_2] = c_1 \cdot 0 + c_2 \cdot 0 = 0. \quad\checkmark$

つまり $c_1 x_1 + c_2 x_2$ も解。

意味:解と解の和(およびスカラー倍)もまた解になる ── これを重ね合わせの原理と呼ぶ。
線形 ODE 特有の性質で、線形性が破れる(非線形項がある)と成り立たない。

4. 解空間の次元 = 微分方程式の階数派生関係

§3 で「解の集合は線形空間」とわかった。次は、その次元(=独立な解がいくつあるか)を考えます。

事実: $n$ 階の線形 ODE の解空間は、ちょうど $n$ 次元。

つまり、 $n$ 個の互いに独立な解 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ を見つければ、すべての解は次の形に書ける:

$x(t) = c_1\,x_1(t) + c_2\,x_2(t) + \cdots + c_n\,x_n(t)$

任意定数の数 $n$ は、ODE の階数と一致 ── これが「2 階 ODE は任意定数 2 つ」「1 階 ODE は任意定数 1 つ」と言われる理由です。

なぜ次元は階数 $n$ ?

ざっくり 2 つの観点で:

初期条件の数:解を一意に決めるには $x(0), \dot x(0), \ldots, x^{(n-1)}(0)$ の $n$ 個が必要(存在と一意性の定理)。つまり「自由度」が $n$ 個ある
線形代数の事実:適切な条件下で、 $n$ 階線形 ODE には独立解がちょうど $n$ 個取れる (Wronskian で独立性を判定する)

証明の詳細は微分方程式論のテキストに譲ります。物理で使う限りでは「階数 = 任意定数の数」と覚えておけば間違いないです。

演習 #2

初期条件で任意定数を決める.
単振動 $\ddot x + \omega^{2} x = 0$ の独立解 $\cos\omega t,\ \sin\omega t$ を使うと、一般解は

$x(t) = a\,\cos\omega t + b\,\sin\omega t.$

初期条件 $x(0) = x_0,\ \dot x(0) = v_0$ を満たす $a, b$ を決めよう。

▶ 解答を見る

初期位置: $t = 0$ を代入。

$x(0) = a\,\cos 0 + b\,\sin 0 = a.$

これが $x_0$ だから $a = x_0$ 。

初期速度:まず微分。

$\dot x(t) = -a\,\omega\sin\omega t + b\,\omega\cos\omega t.$

$t = 0$ :

$\dot x(0) = b\,\omega.$

これが $v_0$ だから $b = v_0/\omega$ 。

結果:

$x(t) = x_0\,\cos\omega t + \frac{v_0}{\omega}\,\sin\omega t.$

意味:任意定数 $a, b$ は初期条件 2 個(位置・速度)とぴったり対応する。
2 階 ODE の任意定数が 2 個なのは、初期条件として位置と速度の両方が必要だから ── 階数と任意定数の数が一致する直感的な理由。

5. Wronskian — 独立性を判定する道具定義

§4 で「独立な解 $n$ 個があれば、その線形結合で全部の解が書ける」と言いましたが、手元にある $n$ 個の関数が本当に独立かはどう判定すればよいでしょう。答えは行列式を使う Wronskian(ロンスキアン)。行列式の計算方法が分からない人は、先にこちらを。

2 関数の Wronskian

関数 $x_1(t), x_2(t)$ に対する Wronskian は

W(x_1, x_2)(t) \;\equiv\; \det\begin{pmatrix} x_1(t) & x_2(t) \\ \dot x_1(t) & \dot x_2(t) \end{pmatrix} \;=\; x_1\,\dot x_2 - x_2\,\dot x_1

で定義される関数(時刻 $t$ ごとに値が決まる量)。行列の各行は順に「関数」「その 1 階微分」を並べる。

独立性の判定

事実: ある時刻 $t_0$ で $W(x_1, x_2)(t_0) \neq 0$ なら、 $x_1, x_2$ は線形独立。

逆向き( $W \equiv 0$ なら従属)は一般には成り立たないものの、 同じ線形 ODE の解に限れば成り立ちます(Abel の公式)。実用上、線形 ODE の話のなかでは $W \neq 0$ ⇔ 独立と覚えてよい。

具体例 1:単振動の解 $\cos\omega t,\ \sin\omega t$

単振動 $\ddot x + \omega^{2} x = 0$ の 2 つの解 $\cos\omega t$ と $\sin\omega t$ の Wronskian

W(\cos\omega t,\,\sin\omega t) = \cos\omega t \cdot \omega\cos\omega t - \sin\omega t \cdot (-\omega\sin\omega t) = \omega\,(\cos^2\omega t + \sin^2\omega t) = \omega \neq 0

$\omega \neq 0$ なので独立。つまり一般解は $a\cos\omega t + b\sin\omega t$ で書ける(演習 #2 はこの上の話)。

具体例 2:異なる指数 $e^{\alpha t},\ e^{\beta t}$

W(e^{\alpha t},\,e^{\beta t}) = e^{\alpha t}\cdot\beta e^{\beta t} - e^{\beta t}\cdot\alpha e^{\alpha t} = (\beta - \alpha)\,e^{(\alpha+\beta)t}

$\alpha \neq \beta$ なら $\beta - \alpha \neq 0$ でいつも非ゼロ → 独立。

一般の $n$ 関数

$n$ 個の関数の Wronskian は $n \times n$ 行列の行列式。行は順に「関数」「1 階微分」「2 階微分」… $(n-1)$ 階微分まで並べる。

W(x_1, \ldots, x_n)(t) \;=\; \det\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ \dot x_1 & \dot x_2 & \cdots & \dot x_n \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ x_1^{(n-1)} & x_2^{(n-1)} & \cdots & x_n^{(n-1)} \end{pmatrix}

階数 $n$ の線形 ODE では、 $n$ 個の独立解があることを保証してくれるのが線形代数の定理( $n$ 次元の解空間の存在)、 本当に独立か確かめるのがこの Wronskian、という分担。

演習 #3

非線形では重ね合わせは成り立たない. 微分方程式

$\ddot x + x^{3} = 0$

は非線形( $x^{3}$ の項のせい)。
$x_1(t), x_2(t)$ がこの方程式の解だったとして、 $x_1 + x_2$ はどこで「解になり損ねる」か、
左辺を計算して確認しよう。

▶ 解答を見る

$x_1, x_2$ はそれぞれ次を満たす:

$\ddot x_1 + x_1^{3} = 0,\qquad \ddot x_2 + x_2^{3} = 0.$

ここで $y = x_1 + x_2$ を代入してみる:

$\ddot y + y^{3} = (\ddot x_1 + \ddot x_2) + (x_1 + x_2)^{3}.$

二乗・三乗を展開:

$(x_1 + x_2)^{3} = x_1^{3} + 3 x_1^{2} x_2 + 3 x_1 x_2^{2} + x_2^{3}.$

代入して整理:

$\ddot y + y^{3} = \underbrace{(\ddot x_1 + x_1^{3})}_{=\,0} + \underbrace{(\ddot x_2 + x_2^{3})}_{=\,0} + 3 x_1^{2} x_2 + 3 x_1 x_2^{2}.$

最初の 2 項は仮定よりゼロだが、余計な交差項

$3\,x_1^{2}\,x_2 + 3\,x_1\,x_2^{2} = 3\,x_1\,x_2\,(x_1 + x_2)$

が残ってしまう。これが一般にゼロではないので $x_1 + x_2$ は解ではない。

意味:非線形項 $x^{3}$ が $x_1, x_2$ を「混ぜる」交差項を生むのが原因。
線形 ODE ではでクリーンに分解できたが、非線形では分解できない ── これが重ね合わせが効かない数学的な正体。

1.「独立解 + 任意定数」って何? 動機

2. 線形微分方程式と線形作用素 定義

3. 重ね合わせ — 解の和も解 派生関係

4. 解空間の次元 = 微分方程式の階数 派生関係

なぜ次元は階数 nnn ?

5. Wronskian — 独立性を判定する道具 定義

2 関数の Wronskian

独立性の判定

具体例 1:単振動の解 cos⁡ωt, sin⁡ωt\cos\omega t,\ \sin\omega tcosωt, sinωt

具体例 2:異なる指数 eαt, eβte^{\alpha t},\ e^{\beta t}eαt, eβt

一般の nnn 関数

2. 線形微分方程式と線形作用素定義

3. 重ね合わせ — 解の和も解派生関係

4. 解空間の次元 = 微分方程式の階数派生関係

なぜ次元は階数 $n$ ?

5. Wronskian — 独立性を判定する道具定義

具体例 1:単振動の解 $\cos\omega t,\ \sin\omega t$

具体例 2:異なる指数 $e^{\alpha t},\ e^{\beta t}$

一般の $n$ 関数