ノート
減衰振動
数学
- 行列式の計算方法 2×2 から余因子展開まで 連立 1 次方程式が解けるかを決める数として行列式を導く。2×2 の ad − bc の意味 (面積)、3×3 の Sarrus、n×n の余因子展開、計算を楽にする性質まで。
- 線形微分方程式の重ね合わせ 独立解の線形結合がなぜ一般解になるか 2 階の線形微分方程式の一般解が「2 つの解の線形結合」で書ける理由を、重ね合わせと、存在と一意性の定理から示す。Wronskian で確かめる方法まで。
- 二次方程式 平方完成、解の公式と判別式 x² + px + q = 0 の解の公式を平方完成で導き、判別式の符号で解が 3 通りに分かれることを確かめる。
- テイラー展開 関数を多項式で近づける 関数を x = a のまわりで多項式に近づける。係数の決め方、a = 0 のマクローリン展開、打ち切ったときの誤差まで。
- Euler の公式 複素数の指数関数で cos と sin を扱う 複素数の指数関数を級数で定義して、Euler の公式を導く。e^{±iθ} から実数の cos と sin を取り出すまで。
- 三角関数の合成 cos と sin の和を 1 つの cos にまとめる C₁cos θ + C₂sin θ を A cos(θ + φ) にまとめる。振幅 A と位相 φ の決め方を、加法定理から。
- 定数係数の 2 階線形微分方程式 特性方程式と 3 つの場合 ẍ + pẋ + qx = 0 の一般解を、特性方程式の根が異なる実数・重根・複素数の 3 つの場合に分けて導く。重根のとき t をかけた解が出てくる理由まで。
- 最小二乗法 データに式を合わせる 測った点に式を合わせる。直線なら式で解け、そうでない式は繰り返しで探す。初期値、近似直線の誤差、残差の見方まで。
- 多変数の極値 停留点と、谷か峠かの見分け方 2 変数の関数で偏微分がどちらも 0 の停留点を求め、極小・極大・鞍点のどれかを 2 階の偏微分で見分ける。最小二乗法の S がいつも谷になる証明まで。
- 行列で書く減衰振動 特性方程式は固有値の式 減衰振動を位置と速度の 1 階の式 2 本にして行列で書く。向きを変えない解を探すと固有値の式が出て、特性方程式と同じになることを位相平面の図で。
物理
- 振り子の近似 sin θ ≈ θ はどこまで正しいか 振り子の運動方程式は線形ではない。テイラー展開で sin θ ≈ θ とすると単振動になる理由と、その近似がどこまで正しいかを、周期の延びまで数値つきで。
- 対数減衰率と Q 値 減衰振動の減り方を 1 つの数で表す 隣り合う山の高さの比から対数減衰率を導き、Q 値との関係を厳密な式と近似式に分けて示す。近似がどこまで正しいかと、測った山から求める方法まで。
- 抵抗の形で何が変わるか 速さに比例・速さの 2 乗・摩擦 空気抵抗や摩擦では、振幅の減り方が減衰振動の式と変わる。1 周期で失うエネルギーから減り方を出し、山の高さのグラフで抵抗の形を見分ける。
- 強制振動と共鳴 外から揺らすと、どの振動数でいちばん揺れるか 外から周期的な力を加えたときの定常解を複素数で求める。振幅と位相のずれ、共鳴の振動数、共鳴の幅と Q 値の関係、揺らし始めまで。
- RLC 回路 減衰振動と同じ式になる電気の振動 コイル・抵抗・コンデンサーの回路の電荷が、ばねの減衰振動と同じ式に従うことを示す。対応表で結果を読みかえ、臨界抵抗、Q 値、交流での共振まで。
- 連成振動 2 つのおもりの揺れを固有値で分ける ばねでつないだ 2 つのおもりの運動方程式を行列で書き、固有値と固有ベクトルから 2 つの基準振動を求める。片方だけ揺らしたときのうなりまで。
実験
そのほかのノート
ベクトル解析
曲がった時空のディラック方程式へ
- 座標変換と行列 観測者の取り換えを行列で書く ベクトルの成分が観測者によって変わる仕組みを、行列の作用として書き表す。回転・反転・ローレンツ変換を具体例で示し、線形な観測者の取り換えはすべて行列で表せることを示す。
- 共変性とは 観測者を変えても物理が変わらないために 座標系=観測者を変えても物理は変わらないはず。でも量の成分は変換される。共変性とは何かを回転で導入し、なぜ素朴な微分が共変性を破るかを Leibniz で示す。
- Vierbein (四脚場) とは 各点に立てる「フラットな見方」 曲がった時空にスピノルを置くのに必要な Vierbein 場 (四脚場)。定義・基本式・局所 Lorentz 自由度を、ハット添字規約と演習つきで段階的に解説。
- スピン接続 ω スピノルを曲時空で微分する補正 曲がった時空でスピノルを共変微分するために必要なスピン接続 ω。動機・定義・Tetrad postulate での決定方法・反対称性を演習つきで解説。
LaTeX
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