ノート
物理学科の 1 年生から読める、演習つきのノート。近いテーマごとに系列にまとめています。どれから読んでも構いません。
ベクトル解析
外積、∇、ラプラシアン。電磁気の式を自分の手で計算できるようになる。
線形代数と微分方程式
行列式から重ね合わせ、減衰振動へ。実験レポートの計算の土台。
-
行列式の計算方法 — 2×2 から余因子展開まで
2×2 行列式の ad − bc から始めて、3×3 の Sarrus、一般 n×n の余因子展開まで。計算を楽にする性質(行入替で符号反転・線形性)も。
-
線形微分方程式の重ね合わせ — 独立解の線形結合がなぜ一般解になるか
「2 階の線形微分方程式の一般解は、2 つの独立解の線形結合」と言われる仕組みを、線形作用素・線形空間の言葉で読み解く。重ね合わせが成り立つ理由と、なぜ任意定数の数が階数と一致するのか。
-
減衰振動の定式化 — 運動方程式から 3 種類の解まで
ばね・振り子・ねじり振り子に共通する減衰振動を、運動方程式から不足減衰・臨界減衰・過減衰の 3 種類の解まで導く。実験で測る抵抗係数 k と周期 T、対数減衰率の関係まで。
曲がった時空のディラック方程式へ
座標変換と共変性から Vierbein、スピン接続まで。追加中。
-
座標変換と行列 — 観測者の取り換えを行列で書く
ベクトルの成分が観測者によって変わる仕組みを、行列の作用として書き表す。回転・反転・ローレンツ変換を具体例で示し、線形な観測者の取り換えはすべて行列で表せることを示す。
-
共変性とは — 観測者を変えても物理が変わらないために
座標系=観測者を変えても物理は変わらないはず。でも量の成分は変換される。共変性とは何かを回転で導入し、なぜ素朴な微分が共変性を破るかを Leibniz で示す。
-
Vierbein (四脚場) とは — 各点に立てる「フラットな見方」
曲がった時空にスピノルを置くのに必要な Vierbein 場 e^{â}_μ。定義・基本式・局所 Lorentz 自由度を、ハット添字規約と演習つきで段階的に解説。
-
スピン接続 ω — スピノルを曲時空で微分する補正
曲がった時空でスピノルを共変微分するために必要なスピン接続 ω^{âb̂}_μ。動機・定義・Tetrad postulate での決定方法・反対称性を演習つきで解説。
LaTeX
環境構築ゼロで始めて、数式と表まで書けるようになる。