行列式の計算方法

01なぜ行列式か

次の連立方程式は、いつでも 1 組の答えをもつでしょうか。

\begin{cases} a\,x + b\,y = e \\ c\,x + d\,y = f \end{cases}

文字を消すと

(ad - bc)\,x = de - bf,\qquad (ad - bc)\,y = af - ce

\begin{gathered}(ad - bc)\,x = de - bf,\\[4pt](ad - bc)\,y = af - ce\end{gathered}

$ad - bc \neq 0$ なら割って答えがただ 1 つに決まり(代入すると確かに元の式を満たす)、 $ad - bc = 0$ なら決まりません(答えがないか、無数にある)。この $ad - bc$ を係数の行列の行列式と呼びます。

2 次の行列式

\det\!\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \;=\; a\,d - b\,c

例題 1 $2x + y = 5,\ x + 3y = 5$ を解く。

ad - bc = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5,\qquad x = \frac{3 \cdot 5 - 1 \cdot 5}{5} = 2,\qquad y = \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 5}{5} = 1

\begin{gathered}ad - bc = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5,\\[4pt]x = \frac{3 \cdot 5 - 1 \cdot 5}{5} = 2,\\[4pt]y = \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 5}{5} = 1\end{gathered}

線形微分方程式の重ね合わせでは、2 つの解で初期値を合わせられるかを決めるのに使います(Wronskian)。

022×2 の意味

なぜ $ad - bc = 0$ だと答えが決まらないのか、図で見ます。 $ad - bc$ は、列ベクトル $(a, c)$ と $(b, d)$ が張る平行四辺形の符号付きの面積です(絶対値が面積。 $(a, c)$ から $(b, d)$ へ反時計回りなら正)。2 本が平行だと面積は 0 です。2×2 では、列が平行なことと行 $(a, b), (c, d)$ が平行なことは、どちらも $ad - bc = 0$ と同じです。行が平行なら 01 節の 2 本の式は同じ傾きの直線で、交点が 1 つに決まりません。

左: (3,1) と (2,4) が張る平行四辺形、面積 10。右: (2,1) と (4,2) は平行で面積 0 — 行列式は列ベクトルが張る平行四辺形の面積。平行なら 0

演習 1

次の行列式を計算しよう。

$\det\!\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

答えを見る

公式 $\det = ad - bc$ に代入

$\begin{aligned} \det\!\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} &= 5 \cdot 4 - (-3) \cdot 2 \\ &= 20 + 6 = 26. \end{aligned}$

注意:右上 $b$ が負のとき $-bc$ でさらに符号がひっくり返るので、足し算になる。

033×3 (Sarrus の方法)

3 元の連立方程式でも同じように、解けるかを決める数があります。3×3 の行列式は 6 つの積の和と差です。

\det\!\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

\begin{aligned} &= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ &\quad - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \end{aligned}

3×3 の成分の右に 1、2 列目を書き写し、右下がりの 3 本の斜めの積を足し、右上がりの 3 本を引く図 — 右に 2 列書き写し、右下がりの斜めの積を足して、右上がりの斜めの積を引く

Sarrus の方法は 3×3 だけです。4×4 以上では同じ形になりません。

演習 2

次の行列式を、Sarrus の方法で計算しよう。

$\det\!\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

答えを見る

右下がりの 3 本(プラス):

$1 \cdot 4 \cdot 6 = 24$
$2 \cdot 5 \cdot 1 = 10$
$3 \cdot 0 \cdot 0 = 0$
合計: $24 + 10 + 0 = 34$

右上がりの 3 本(マイナス):

$3 \cdot 4 \cdot 1 = 12$
$1 \cdot 5 \cdot 0 = 0$
$2 \cdot 0 \cdot 6 = 0$
合計: $12 + 0 + 0 = 12$

差をとる:

$\det = 34 - 12 = 22.$

04一般の n×n (余因子展開)

4×4 以上はどうするか。行列式を 1 つ小さい行列式の和に分けて、2×2 まで下ろします。n×n 行列 $A = (a_{ij})$ から $i$ 行と $j$ 列を消した行列の行列式を $M_{ij}$ (小行列式)とすると、1 行目で展開して

\begin{pmatrix} \bcancel{a_{11}} & \bcancel{a_{12}} & \bcancel{a_{13}} \\ a_{21} & \bcancel{a_{22}} & a_{23} \\ a_{31} & \bcancel{a_{32}} & a_{33} \end{pmatrix} \;\to\; M_{12} = \det\begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix}

\begin{aligned} \det A &= \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j}\,a_{1j}\,M_{1j} \\ &= a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13} - \cdots \end{aligned}

$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ を余因子と呼びます。 $i$ 行目で展開するときは $\det A = \sum_j a_{ij} C_{ij}$ で、符号 $(-1)^{i+j}$ は市松模様(1 行目は $+, -, +, \ldots$ 、2 行目は $-, +, -, \ldots$ )です。どの行・列で展開しても同じ値になる(証明は線形代数の教科書)ので、0 の多い行・列を選ぶと楽です。

演習 3

上と同じ行列を、今度は1 行目で余因子展開して計算しよう。

$\det\!\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13}$

ここで $M_{ij}$ は $i$ 行・ $j$ 列を消した小行列の行列式(小行列式)。

答えを見る

1 行目の各成分について、その行と列を消した 2×2 行列式を取る。

$M_{11}$ (1 行 1 列を消す)

$M_{11} = \det\!\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = 4 \cdot 6 - 5 \cdot 0 = 24.$

$M_{12}$ (1 行 2 列を消す)

$M_{12} = \det\!\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 - 5 \cdot 1 = -5.$

$M_{13}$ (1 行 3 列を消す)

$M_{13} = \det\!\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 - 4 \cdot 1 = -4.$

展開:

$\begin{aligned} \det &= 1 \cdot 24 - 2 \cdot (-5) + 3 \cdot (-4) \\ &= 24 + 10 - 12 = 22. \end{aligned}$

Sarrus と同じ値が出る。
余因子展開はどんな行・列でも展開できるので、0 が多い行を選ぶと楽になる(掛け算が消える)。

05計算を楽にする性質

大きい行列は展開がたいへんです。次の性質(証明は線形代数の教科書)で 0 を増やしてから展開します。

ある行に、ほかの行の定数倍を足しても値は変わらない
2 つの行を入れかえると符号が変わる。ある行を $k$ 倍すると値も $k$ 倍
同じ行が 2 つある、またはある行がすべて 0 なら、値は 0
転置しても同じ $\det A = \det A^{\mathsf T}$ 。積は積 $\det(AB) = \det A\,\det B$

1 つ目の性質と、必要なら行の入れかえ(符号が変わる)で上三角行列(対角より下がすべて 0)にすれば、行列式は対角成分の積です。