行列式の計算方法 — 2×2 から余因子展開まで

1. 行列式って何? 動機

正方行列 $A$ に対して定義される数値行列式(determinant)は、記号で $\det A$ あるいは $|A|$ と書きます。一見ただの「行列に紐づいた数」ですが、いくつか役割があります。

独立性の判定 — 行(あるいは列)ベクトルが線形独立 ⇔ $\det A \neq 0$
逆行列の存在 — $A$ が可逆 ⇔ $\det A \neq 0$
面積・体積 — 2×2 なら 2 つの列ベクトルが張る平行四辺形の面積、3×3 なら平行六面体の体積(符号付き)
変換のスケール — 線形変換 $A$ による面積/体積の拡大率

以下、計算方法を 2×2 → 3×3 → 一般 n×n の順で見ていきます。

2. 2×2 行列式定義

一番基本の 2×2 行列式は次の公式

\det\!\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \;=\; a\,d - b\,c

「左上 × 右下 − 右上 × 左下」と覚える。具体例

\det\!\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = 3 \cdot 4 - 2 \cdot 1 = 12 - 2 = 10

演習 #1

2×2 の基本. 次の行列式を計算しよう。

$\det\!\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$

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公式 $\det = ad - bc$ に代入:

$\det\!\begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = 5 \cdot 4 - (-3) \cdot 2 = 20 + 6 = 26.$

注意:右上 $b$ が負のときでさらに符号がひっくり返るので、足し算になる。

3. 3×3 行列式 — Sarrus の方法定義

3×3 行列の行列式は次の 6 項の和差で書ける(Sarrus の公式):

\det\!\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}

= a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}

視覚的な覚え方(Sarrus 図)

行列を右に 2 列分書き写したつもりになって、3×5 の枠を考える。

右下がりの斜め 3 本(↘): $a_{11}a_{22}a_{33},\ a_{12}a_{23}a_{31},\ a_{13}a_{21}a_{32}$ ── これらは+
右上がりの斜め 3 本(↗): $a_{13}a_{22}a_{31},\ a_{11}a_{23}a_{32},\ a_{12}a_{21}a_{33}$ ── これらは−

Sarrus は3×3 専用。4×4 以上には使えない(同じ要領で書けないので、次節の余因子展開を使う)。

演習 #2

3×3 を Sarrus で. 次の行列式を、Sarrus の方法で計算しよう。

$\det\!\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

▶ 解答を見る

右下がりの 3 本(プラス):

$1 \cdot 4 \cdot 6 = 24$
$2 \cdot 5 \cdot 1 = 10$
$3 \cdot 0 \cdot 0 = 0$
合計: $24 + 10 + 0 = 34$

右上がりの 3 本(マイナス):

$3 \cdot 4 \cdot 1 = 12$
$1 \cdot 5 \cdot 0 = 0$
$2 \cdot 0 \cdot 6 = 0$
合計: $12 + 0 + 0 = 12$

差をとる:

$\det = 34 - 12 = 22.$

4. 余因子展開 — 一般の n×n 定義

n×n 行列にも使える普遍的な計算方法が余因子展開(cofactor expansion)。まず必要な道具を 2 つ定義します。

小行列 — 1 行 1 列を消した残り

n×n 行列 $A$ の 小行列(minor matrix) $A_{ij}$ とは、 $A$ から i 行目と j 列目をまるごと取り除いて残った (n−1)×(n−1) 行列のこと。

例:3×3 で $i = 1, j = 2$ (1 行目と 2 列目を消す)場合

\begin{pmatrix} \bcancel{a_{11}} & \bcancel{a_{12}} & \bcancel{a_{13}} \\ a_{21} & \bcancel{a_{22}} & a_{23} \\ a_{31} & \bcancel{a_{32}} & a_{33} \end{pmatrix} \;\longrightarrow\; A_{12} = \begin{pmatrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{pmatrix}

1 行目をまるごと消し、2 列目をまるごと消して、残った 2×2 の塊が $A_{12}$ 。

小行列式 — 小行列の行列式

上の小行列 $A_{ij}$ の行列式を $M_{ij}$ と書き、これを小行列式(minor)と呼びます。

M_{ij} \;\equiv\; \det A_{ij}

n×n の行列式を計算するために、n 個の (n−1)×(n−1) の行列式を取る ── つまりサイズが 1 つ落ちる。これを再帰的に繰り返すと、最終的に 2×2 の $ad - bc$ まで辿り着いて計算できる。

展開の式

1 行目で余因子展開するときの式

\det A \;=\; \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j}\,a_{1j}\,M_{1j} \;=\; a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13} - \cdots

各成分 $a_{1j}$ に $M_{1j}$ (その成分の行・列を消した小行列式)を掛け、符号 $(-1)^{1+j}$ を付けて足す。符号は1 行目なら $(+, -, +, -, \ldots)$ の市松模様。

どの行・列で展開するか

余因子展開はどの行・列で展開しても同じ値が出ます( $i$ 行目で展開する一般式は $\det A = \sum_j (-1)^{i+j} a_{ij} M_{ij}$ )。実用上は 0 が多い行・列を選ぶと楽になる(0 が掛かる項は無視できる)。

n が大きいときは、各小行列式 $M_{ij}$ がさらに (n−1)×(n−1) の展開を要するので、再帰的に小さくしていく。実用的には 3×3 や 4×4 までは手で、それ以上は数値計算ソフトに任せるのが普通。

演習 #3

余因子展開で同じ行列式を計算. 上と同じ行列を、今度は1 行目で余因子展開して計算しよう。

$\det\!\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} = a_{11} M_{11} - a_{12} M_{12} + a_{13} M_{13}$

ここでは行・列を消した小行列の行列式(小行列式)。

▶ 解答を見る

1 行目の各成分について、その行と列を消した 2×2 行列式を取る。 $M_{11}$ (1 行 1 列を消す):

$M_{11} = \det\!\begin{pmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{pmatrix} = 4 \cdot 6 - 5 \cdot 0 = 24.$

$M_{12}$ (1 行 2 列を消す):

$M_{12} = \det\!\begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 6 \end{pmatrix} = 0 \cdot 6 - 5 \cdot 1 = -5.$

$M_{13}$ (1 行 3 列を消す):

$M_{13} = \det\!\begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 - 4 \cdot 1 = -4.$

展開:

$\det = 1 \cdot 24 - 2 \cdot (-5) + 3 \cdot (-4) = 24 + 10 - 12 = 22. \quad\checkmark$

Sarrus と同じ値が出る。
余因子展開はどんな行・列でも展開できるので、0 が多い行を選ぶと楽になる(掛け算が消える)。

5. 計算を楽にする性質派生関係

公式に直接代入する以外に、行列式の性質を使うと計算がぐっと楽になる場合があります。

同じ行(列)が 2 つある → $\det = 0$
ある行(列)が全部ゼロ → $\det = 0$
2 つの行を入れ替える → 符号が反転( $\det \to -\det$ )
ある行を $k$ 倍 → 行列式も $k$ 倍(線形性、列でも同じ)
ある行に他の行の定数倍を足す → $\det$ は不変。これを使って0 を増やすと展開が楽になる
転置しても値は同じ: $\det A = \det A^{\top}$
積の行列式は積: $\det(AB) = \det A \cdot \det B$

特に「行に他の行の定数倍を足す → 不変」を使うと、三角行列(下/上三角)に持ち込めます。三角行列の行列式は対角成分の積なので一発。これは大きな n でも有効。

1. 行列式って何? 動機

2. 2×2 行列式 定義

3. 3×3 行列式 — Sarrus の方法 定義

視覚的な覚え方(Sarrus 図)

4. 余因子展開 — 一般の n×n 定義

小行列 — 1 行 1 列を消した残り

小行列式 — 小行列の行列式

展開の式

どの行・列で展開するか

5. 計算を楽にする性質 派生関係

2. 2×2 行列式定義

3. 3×3 行列式 — Sarrus の方法定義

5. 計算を楽にする性質派生関係