1. ラプラシアンって何?

ラプラシアン (Laplacian) はスカラー関数を 各座標について 2 回ずつ偏微分して足し合わせる演算子です。 記号は ∇2\nabla^2、または Δ\Delta。 3 次元では次のように書きます。

∇2f=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

名前は Pierre-Simon Laplace (ラプラス) から。 やっていることは「各方向について 2 回偏微分して合計する」それだけです。

2. 前提: 勾配 (∇f) と 発散 (∇·A)

ラプラシアンを導く前に、勾配と発散の定義を最小限で思い出しておきます。 詳しくは ナブラ ∇ の記事 を先に読んでください。

勾配 (gradient, ∇f)

スカラー ff から、「最も増加する向き」を指すベクトルを作る。

∇f=(∂f∂x, ∂f∂y, ∂f∂z)\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ \frac{\partial f}{\partial z}\right)

発散 (divergence, ∇·A)

ベクトル場 A⃗\vec A から、スカラー量「湧き出し度合い」を取り出す (∇\nabla と A⃗\vec A の内積)。

∇⋅A⃗=∂Ax∂x+∂Ay∂y+∂Az∂z\nabla \cdot \vec{A} = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}

3. 勾配の発散 = ラプラシアン

ラプラシアンは、勾配 ∇f\nabla f をもう一度発散 ∇⋅\nabla \cdot にかけたものに等しくなります。

∇2f=∇⋅(∇f)\nabla^2 f = \nabla \cdot (\nabla f)

順番で追うと:

  1. スカラー ff に勾配 ∇\nabla をかけてベクトル ∇f\nabla f にする
  2. そのベクトルに発散 ∇⋅\nabla \cdot をかけてスカラーに戻す

スカラー → ベクトル → スカラー の往復で得られるのが、ラプラシアンです。

4. 計算してみる

具体的な関数でやると手順が身につきます。

例 1: f(x,y,z)=x2+y2+z2f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2

  • ∂2f/∂x2=2\partial^2 f / \partial x^2 = 2
  • ∂2f/∂y2=2\partial^2 f / \partial y^2 = 2
  • ∂2f/∂z2=2\partial^2 f / \partial z^2 = 2
∴ ∇2f=6\therefore\ \nabla^2 f = 6

例 2: f(x,y)=xyf(x,y) = xy

  • ∂2f/∂x2=0\partial^2 f / \partial x^2 = 0
  • ∂2f/∂y2=0\partial^2 f / \partial y^2 = 0
∴ ∇2f=0\therefore\ \nabla^2 f = 0

xyxy のように各変数について 1 次の関数は 2 階微分で消えるので、ラプラシアンはゼロ。

例 3: f(x)=e−x2f(x) = e^{-x^2} (1 次元)

  • f′(x)=−2x e−x2f'(x) = -2x\, e^{-x^2}
  • f′′(x)=(4x2−2) e−x2f''(x) = (4x^2 - 2)\, e^{-x^2}
∇2f=(4x2−2) e−x2\nabla^2 f = (4x^2 - 2)\, e^{-x^2}
演習 #1

次のスカラー関数の 3 次元ラプラシアンを計算しよう。

f(x,y,z)=x2+y2+z2f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2

▶ 解答を見る

各成分の 2 階偏微分は:

  • ∂2f∂x2=2\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2
  • ∂2f∂y2=2\dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2
  • ∂2f∂z2=2\dfrac{\partial^2 f}{\partial z^2} = 2
合計して:

∇2f=2+2+2=6\nabla^2 f = 2 + 2 + 2 = 6

ポイント: 等方的な 2 次関数は空間のどこでも同じ定数のラプラシアンを返す。

5. 電磁気: ポアソン方程式

電磁気の静電場では、ポテンシャル φ\varphi と電荷密度 ρ\rho の関係が ラプラシアンで書かれます。これが Poisson 方程式:

∇2φ=−ρε0\nabla^2 \varphi = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}

左辺はポテンシャルの「曲がり具合」、右辺は源 (電荷密度)。 つまり ラプラシアンは「ポテンシャルと源密度をつなぐ橋」の役割。

静電場で「力を求める」全体フロー:

  1. 源密度 ρ\rho (電荷分布) が与えられる
  2. Poisson 方程式 (ラプラシアンを使う) を解いて φ\varphi を得る
  3. 勾配 F⃗=−∇φ\vec F = -\nabla \varphi で力を計算 (これは ナブラ記事 の話)

ラプラシアンは真ん中のステップを担当する。 力への変換は勾配 (ナブラ) がやる、という分担関係。

源がない場所 (真空) では ρ=0\rho = 0 なので ∇2φ=0\nabla^2 \varphi = 0。 これは Laplace 方程式で、調和関数の理論につながります。

演習 #2

Coulomb 型ポテンシャル φ(r)=1/r\varphi(r) = 1/r (ただし r=x2+y2+z2>0r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} > 0) について、ラプラシアン ∇2φ\nabla^2 \varphi を計算しよう。

ヒント: 球対称な関数 f(r)f(r) の 3 次元ラプラシアンは
∇2f=1r2ddr(r2dfdr)\nabla^2 f = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{df}{dr}\right)
で書ける。

▶ 解答を見る

f=1/rf = 1/r に対して:

  • dfdr=−1r2\dfrac{df}{dr} = -\dfrac{1}{r^2}
  • r2dfdr=−1r^2 \dfrac{df}{dr} = -1
  • ddr(r2dfdr)=0\dfrac{d}{dr}\left(r^2 \dfrac{df}{dr}\right) = 0
したがって r>0r > 0 で:

∇2(1r)=0\nabla^2 \left(\frac{1}{r}\right) = 0

ポイント: 原点を除いた全空間で 1/r1/r は Laplace 方程式 ∇2φ=0\nabla^2 \varphi = 0 を満たす。
原点では発散し、合わせると ∇2(1/r)=−4πδ3(r⃗)\nabla^2 (1/r) = -4\pi \delta^3(\vec r) となる (デルタ関数)。
ここから Coulomb の法則 ∇2φ=−ρ/ε0\nabla^2 \varphi = -\rho/\varepsilon_0 が導ける。

6. 拡散・波動・量子での出番

ラプラシアンは Poisson 方程式以外にも、物理の主要な偏微分方程式のほぼ全てに顔を出します。

熱方程式 (拡散)

∂u∂t=α∇2u\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u

温度や濃度が「空間的な凸凹をならす」動きを表す。ラプラシアンが正なら盛り上がって、負なら凹む。

波動方程式

∂2u∂t2=c2∇2u\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u

電磁波・音波・弦の振動など。空間の 2 階微分 (ラプラシアン) が時間の 2 階微分を駆動する。

シュレーディンガー方程式

iℏ∂ψ∂t=−ℏ22m∇2ψ+Vψi\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi + V\psi

量子力学の運動エネルギー項は −ℏ2/(2m)⋅∇2-\hbar^2/(2m) \cdot \nabla^2。これもラプラシアン。