1. なぜ Vierbein を作るのか 動機

ディラック方程式は、平坦な時空 (Minkowski) のもとで γ行列とスピノル ψ\psi を使って書かれます。 γ行列はもともと、Minkowski 計量 ηa^b^\eta_{\hat a \hat b} に対して

{γa^,γb^}=2 ηa^b^\{\gamma^{\hat a}, \gamma^{\hat b}\} = 2\,\eta^{\hat a \hat b}

という関係(反交換関係)で定義されている、いわば 「フラットな世界の住人」。

ところが、曲がった時空には全体としての Minkowski 計量はありません。 場所ごとに違う計量 gμν(x)g_{\mu\nu}(x) があるだけ。 この上に γ行列・スピノルをそのまま「置く」ことができないのが、 最初のハードルです。

一方で、曲がった時空でも各点だけを見れば、ほぼ平らに見えます。 地球の表面が、十分小さい範囲ではほぼ平面に見えるのと同じイメージ。 だから、各点ごとに「フラットな見方」を 1 つ選んでおく、 という戦略がとれます。

この「各点で選ぶフラットな見方」を数式の形で取り出した道具が Vierbein(フィアバイン、四脚場、tetrad とも)です。

2. Vierbein の定義 定義

各点 xx で、時空の基底ベクトル(時空添字をもつ量)に対して、 4 本のベクトルを選びます。それを成分で表したものを ea^μ(x)e^{\hat a}{}_{\mu}(x) と書きます。 ハット付き添字 a^\hat a が 4 本のベクトルの番号、 ハット無し添字 μ\mu がそのベクトルの時空成分です。

ただ任意のベクトルを 4 本選んでもダメで、次の条件を満たすように選びます。

gμν(x)=ηa^b^ ea^μ(x) eb^ν(x)g_{\mu\nu}(x) = \eta_{\hat a \hat b}\, e^{\hat a}{}_{\mu}(x)\, e^{\hat b}{}_{\nu}(x)

つまり、「ハット添字どうしを η\eta で潰すと、時空計量 gμνg_{\mu\nu} が再現される」ような Vierbein 場 ea^μ(x)e^{\hat a}{}_{\mu}(x) を選ぶ ── これが定義です。

語源は独語で vier (四) + bein (足) = 「四脚」。 日本語の四脚場はこの直訳です。 ラテン/英で同義の tetrad(4 つの組)もよく使われます。 n 次元への一般化版 vielbein(viel = 多)も、 文献によっては 4 次元の文脈で用いられます (本シリーズは 4 次元に限るので、Vierbein で統一)。

3. なぜこの定義? 動機

「g=η e eg = \eta\, e\, e を満たすように選ぶ」と決めたのは、 一見唐突です。なぜこの形か、3 つの嬉しさで説明できます。

(a) ベクトルが「翻訳」できる

時空ベクトル VμV^\mu に Vierbein を掛けると、 ハット添字を持ったフラット世界の量に変換できます:

Va^=ea^μ VμV^{\hat a} = e^{\hat a}{}_{\mu}\, V^{\mu}

逆向きの翻訳には逆 Vierbein ea^μe_{\hat a}{}^\mu(後で定義)を使う:

Vμ=ea^μ Va^V^{\mu} = e_{\hat a}{}^{\mu}\, V^{\hat a}

(b) フラット側に γ・スピノルがそのまま住める

翻訳した先 Va^V^{\hat a} は Minkowski の世界の量なので、 そこには γ行列が {γa^,γb^}=2 ηa^b^\{\gamma^{\hat a}, \gamma^{\hat b}\} = 2\,\eta^{\hat a \hat b} でそのまま住んでいます。 スピノルも、Lorentz 変換の決まりに従って動く対象として定義できる。 「曲時空にスピノルを置く」が、「翻訳して平坦側で扱う」に化けるわけです。

(c) 翻訳は各点で独立にやれる

ea^μ(x)e^{\hat a}{}_\mu(x) は xx ごとに別の値を取ります。 ある点での翻訳は、隣の点の翻訳と独立に行える。 「局所的に」フラットな見方を選ぶという発想と、数式が一致しています。

逆に言えば、定義式の g=η e eg = \eta\, e\, e は、 上の (a)(b)(c) を実現するために最小限要請する条件、 ということです。

4. 逆 Vierbein 定義

ea^μe^{\hat a}{}_\mu は各点で 4×44 \times 4 の行列とみなせます (添字 a^\hat a が行、μ\mu が列)。 この行列の逆行列を ea^μe_{\hat a}{}^\mu と書き、 逆 Vierbein と呼びます。

逆行列の定義そのものを成分で書き下すと、次の 2 本が逆 Vierbein の定義式になります:

ea^μ ea^ν=δμνe^{\hat a}{}_{\mu}\, e_{\hat a}{}^{\nu} = \delta_{\mu}{}^{\nu}
ea^μ eb^μ=δa^b^e^{\hat a}{}_{\mu}\, e_{\hat b}{}^{\mu} = \delta^{\hat a}{}_{\hat b}

1 本目は「カーブド添字を縮約 → δ\delta で潰れる」、 2 本目は「フラット添字を縮約 → δ\delta で潰れる」。 要するに M M−1=IM\, M^{-1} = I と M−1M=IM^{-1} M = I を成分表示したものです。

表記のクセに注意:逆では添字の上下が入れ替わります。 ハット添字は下、時空添字は上。 これは「逆 Vierbein はフラット側からカーブド側へ翻訳する道具」と覚えると整合的です。

5. 逆計量も Vierbein から出る 派生関係

§2 の定義式 gμν=ηa^b^ ea^μ eb^νg_{\mu\nu} = \eta_{\hat a \hat b}\, e^{\hat a}{}_\mu\, e^{\hat b}{}_\nu と、 §4 の逆 Vierbein の関係式とを組み合わせると、 逆計量 gμνg^{\mu\nu} もまた Vierbein で書けるという関係が出ます:

gμν=ηa^b^ ea^μ eb^νg^{\mu\nu} = \eta^{\hat a \hat b}\, e_{\hat a}{}^{\mu}\, e_{\hat b}{}^{\nu}

導出は定義式の両辺に ec^μed^νηc^e^ηd^f^e_{\hat c}{}^\mu e_{\hat d}{}^\nu \eta^{\hat c \hat e} \eta^{\hat d \hat f} を掛けて §4 の関係式で δ\delta に潰すだけ。

覚え方:形が g=η e eg = \eta\, e\, e と g−1=η−1 e−1 e−1g^{-1} = \eta^{-1}\, e^{-1}\, e^{-1} の対称形。 「足が下なら η\eta、上なら η−1\eta^{-1}」と思っておけば、暗記不要で書けます。

演習 #1

平坦な Minkowski 時空で、デカルト座標 (t,x,y,z)(t, x, y, z) を取ると計量は gμν=ημνg_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} になる。

このとき Vierbein を ea^μ=δa^μe^{\hat a}{}_\mu = \delta^{\hat a}{}_\mu と取ると、定義式

gμν=ηa^b^ ea^μ eb^νg_{\mu\nu} = \eta_{\hat a \hat b}\, e^{\hat a}{}_\mu\, e^{\hat b}{}_\nu

がきちんと成り立つことを確かめよう。

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代入するだけ:

ηa^b^ δa^μ δb^ν=ημν.\eta_{\hat a \hat b}\, \delta^{\hat a}{}_\mu\, \delta^{\hat b}{}_\nu = \eta_{\mu\nu}.

δ\delta は添字を「同じ番号」に変えるだけなので、ハット添字の ηa^b^\eta_{\hat a \hat b} がそのまま時空添字の ημν\eta_{\mu\nu} になる。

意味:平坦時空では Vierbein は「単位行列」を選べばよい。
カーブド世界とフラット世界が一致しているので、翻訳器は何もしない。

6. 添字 2 種類のまとめ

ここまでで、世界が 2 つあることが見えてきます:

  • カーブド世界:時空のグローバルな座標で生きる量。 添字は μ,ν\mu, \nu。上げ下げは gμνg_{\mu\nu} で。
  • フラット世界:各点の局所慣性系で生きる量。 添字は a^,b^\hat a, \hat b。上げ下げは ηa^b^\eta_{\hat a \hat b} で。
  • Vierbein ea^μe^{\hat a}{}_\mu:両方の添字を持つ唯一の量。 「翻訳器」として 2 つの世界を橋渡しする。

原則は単純で、 カーブド添字には gg、フラット添字には η\eta。 式を書くときは、添字を見て「ハット付きか? 付いてないか?」で 上げ下げの道具を機械的に選ぶ、と思っておけば迷いません。

演習 #2

次のような対角な計量を考える(球対称な静的時空でよく出てくる形):

ds2=−A(r) dt2+B(r) dr2+r2 dθ2+r2sin⁡2θ dϕ2ds^2 = -A(r)\, dt^2 + B(r)\, dr^2 + r^2\, d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta\, d\phi^2

このとき、対角な Vierbein

e0^t=A(r),e1^r=B(r),e2^θ=r,e3^ϕ=rsin⁡θe^{\hat 0}{}_t = \sqrt{A(r)},\quad e^{\hat 1}{}_r = \sqrt{B(r)},\quad e^{\hat 2}{}_\theta = r,\quad e^{\hat 3}{}_\phi = r\sin\theta

(他の成分はすべて 0) が定義式を満たすことを確かめよう。

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定義式の右辺は ∑a^,b^ηa^b^ ea^μ eb^ν\sum_{\hat a, \hat b} \eta_{\hat a \hat b}\, e^{\hat a}{}_\mu\, e^{\hat b}{}_\nu。各 μ\mu について 0 でない項だけ拾えばよい。

  • μ=ν=t\mu = \nu = t: η0^0^(e0^t)2=(−1)⋅A=−A\eta_{\hat 0 \hat 0} (e^{\hat 0}{}_t)^2 = (-1) \cdot A = -A ✓
  • μ=ν=r\mu = \nu = r: η1^1^(e1^r)2=(+1)⋅B=B\eta_{\hat 1 \hat 1} (e^{\hat 1}{}_r)^2 = (+1) \cdot B = B ✓
  • μ=ν=θ\mu = \nu = \theta: η2^2^(e2^θ)2=(+1)⋅r2=r2\eta_{\hat 2 \hat 2} (e^{\hat 2}{}_\theta)^2 = (+1) \cdot r^2 = r^2 ✓
  • μ=ν=ϕ\mu = \nu = \phi: η3^3^(e3^ϕ)2=(+1)⋅r2sin⁡2θ\eta_{\hat 3 \hat 3} (e^{\hat 3}{}_\phi)^2 = (+1) \cdot r^2 \sin^2\theta ✓
  • μ≠ν\mu \ne \nu の項は、ハット添字違いの組がないので 0
つまり、計量が対角なら Vierbein も「対応する成分の平方根」を並べた対角形でよい。 時間成分だけ η0^0^=−1\eta_{\hat 0 \hat 0} = -1 なので符号に注意。

7. Vierbein は 1 通りでない 定理

ここで重要な観察があります。同じ計量 gμνg_{\mu\nu} を再現する Vierbein は、1 通りに決まりません。

実際、各点 xx で次のように ハット添字に対する Lorentz 変換 Λa^b^(x)\Lambda^{\hat a}{}_{\hat b}(x) を入れたもの:

e′a^μ(x)=Λa^b^(x) eb^μ(x)e'^{\hat a}{}_{\mu}(x) = \Lambda^{\hat a}{}_{\hat b}(x)\, e^{\hat b}{}_{\mu}(x)

も、もとの ea^μe^{\hat a}{}_\mu と同じ計量を再現します。 確かめるには、定義式に代入して、Lorentz 変換が η\eta を保つこと

ηa^b^ Λa^c^ Λb^d^=ηc^d^\eta_{\hat a \hat b}\, \Lambda^{\hat a}{}_{\hat c}\, \Lambda^{\hat b}{}_{\hat d} = \eta_{\hat c \hat d}

を使うだけ。これがいわゆる 「各点で別々にやれる Lorentz 変換」(局所 Lorentz 変換)です。 全ての点で同じ Λ\Lambda をかける必要はなく、点ごとに違って構わない。

具体例 2 次元 Minkowski で確かめる

時空を 2 次元の平坦な Minkowski にしてみます。 計量は ημν=diag⁡(−1,+1)\eta_{\mu\nu} = \operatorname{diag}(-1, +1)、座標は (t,x)(t, x)。

Vierbein A(まっすぐな選び方):

e0^t=1,e1^x=1,他の成分は 0e^{\hat 0}{}_{t} = 1,\qquad e^{\hat 1}{}_{x} = 1,\qquad \text{他の成分は }0

これに、ハット添字に対する Lorentz boost(rapidity ξ\xi)を局所 Lorentz 変換として入れます:

Λa^b^(ξ)=(cosh⁡ξsinh⁡ξsinh⁡ξcosh⁡ξ)\Lambda^{\hat a}{}_{\hat b}(\xi) = \begin{pmatrix} \cosh\xi & \sinh\xi \\ \sinh\xi & \cosh\xi \end{pmatrix}

Vierbein B(boost 後の e′a^μ=Λa^b^ eb^μe'^{\hat a}{}_\mu = \Lambda^{\hat a}{}_{\hat b}\, e^{\hat b}{}_\mu):

e′0^t=cosh⁡ξ,e′0^x=sinh⁡ξ,e′1^t=sinh⁡ξ,e′1^x=cosh⁡ξ.\begin{aligned} e'^{\hat 0}{}_{t} &= \cosh\xi, & e'^{\hat 0}{}_{x} &= \sinh\xi, \\ e'^{\hat 1}{}_{t} &= \sinh\xi, & e'^{\hat 1}{}_{x} &= \cosh\xi. \end{aligned}

Vierbein A と B は明らかに別の場です(たとえば ξ=1\xi=1 なら成分の値が違う)。 それでも、両方とも同じ計量 ημν\eta_{\mu\nu} を再現します。 この事実を演習 #4 で実際に手を動かして確かめてみてください。

ξ\xi は連続パラメータなので、計量を変えずに動ける自由度が (2 次元では)1 次元あることが見えます。 さらに、ξ\xi は場所 xx ごとに違っていて構わない (ξ(t,x)\xi(t,x) としてよい)。 これが「各点で別々にやれる」の意味です。

一般の dd 次元では、Lorentz 群 SO(1,d−1)SO(1, d-1) の次元 d(d−1)/2d(d-1)/2 が局所自由度の数。4 次元なら 6 (boost 3 + 回転 3)。

この「選び方の自由度」は、後でスピノルの扱いに効いてきます。 スピノルはこの局所 Lorentz 変換のもとで、ある決まった規則 ψ→S(Λ) ψ\psi \to S(\Lambda)\,\psi で動く対象として定義されるからです。 詳しくは次の記事「スピン接続」「スピノルの共変微分」で扱います。

演習 #3

演習 #2 と同じ計量に対して、逆 Vierbein

e0^t=1A(r),e1^r=1B(r),e2^θ=1r,e3^ϕ=1rsin⁡θe_{\hat 0}{}^t = \frac{1}{\sqrt{A(r)}},\quad e_{\hat 1}{}^r = \frac{1}{\sqrt{B(r)}},\quad e_{\hat 2}{}^\theta = \frac{1}{r},\quad e_{\hat 3}{}^\phi = \frac{1}{r\sin\theta}

を使って、逆計量の式

gμν=ηa^b^ ea^μ eb^νg^{\mu\nu} = \eta^{\hat a \hat b}\, e_{\hat a}{}^\mu\, e_{\hat b}{}^\nu

から gtt,grr,gθθ,gϕϕg^{tt}, g^{rr}, g^{\theta\theta}, g^{\phi\phi} を求めよう。

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演習 #2 と同じ要領で対角成分だけ拾う:

  • gtt=η0^0^(e0^t)2=(−1)⋅1A=−1Ag^{tt} = \eta^{\hat 0 \hat 0} (e_{\hat 0}{}^t)^2 = (-1) \cdot \dfrac{1}{A} = -\dfrac{1}{A}
  • grr=η1^1^(e1^r)2=1Bg^{rr} = \eta^{\hat 1 \hat 1} (e_{\hat 1}{}^r)^2 = \dfrac{1}{B}
  • gθθ=1r2g^{\theta\theta} = \dfrac{1}{r^2}
  • gϕϕ=1r2sin⁡2θg^{\phi\phi} = \dfrac{1}{r^2 \sin^2\theta}
これは元の対角計量 gμνg_{\mu\nu} の逆行列とちゃんと一致する(gμρgρν=δμνg^{\mu\rho} g_{\rho\nu} = \delta^\mu{}_\nu を確かめてもよい)。

教訓:Vierbein を 1 つ手元に持っていれば、計量・逆計量・添字の翻訳がすべてそこから出てくる。
逆行列を手で計算する必要がなくなる、というのが実用上の大きな利点。

演習 #4

§7 で出てきた Vierbein B(2 次元 Minkowski を boost した形):

e′0^t=cosh⁡ξ,e′0^x=sinh⁡ξ,e′1^t=sinh⁡ξ,e′1^x=cosh⁡ξ.\begin{aligned} e'^{\hat 0}{}_{t} &= \cosh\xi, & e'^{\hat 0}{}_{x} &= \sinh\xi, \\ e'^{\hat 1}{}_{t} &= \sinh\xi, & e'^{\hat 1}{}_{x} &= \cosh\xi. \end{aligned}

これを Vierbein の定義式

gμν=ηa^b^ e′a^μ e′b^νg_{\mu\nu} = \eta_{\hat a \hat b}\, e'^{\hat a}{}_{\mu}\, e'^{\hat b}{}_{\nu}

に入れて、本当に gμν=ημν=diag⁡(−1,+1)g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} = \operatorname{diag}(-1, +1) になることを、3 成分 (gtt,gxx,gtxg_{tt}, g_{xx}, g_{tx}) すべて手で確かめよう。
ξ\xi は具体的な数を入れず、文字のまま計算すればよい。

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定義式の右辺を成分に開く:

ηa^b^ e′a^μ e′b^ν=− e′0^μ e′0^ν+e′1^μ e′1^ν\eta_{\hat a \hat b}\, e'^{\hat a}{}_{\mu}\, e'^{\hat b}{}_{\nu} = -\,e'^{\hat 0}{}_{\mu}\, e'^{\hat 0}{}_{\nu} + e'^{\hat 1}{}_{\mu}\, e'^{\hat 1}{}_{\nu}

(η0^0^=−1\eta_{\hat 0 \hat 0} = -1, η1^1^=+1\eta_{\hat 1 \hat 1} = +1, 非対角は 0 を使った)。

gttg_{tt}:

gtt=−(cosh⁡ξ)2+(sinh⁡ξ)2=−1 ✓g_{tt} = -(\cosh\xi)^2 + (\sinh\xi)^2 = -1\ \checkmark

(cosh⁡2ξ−sinh⁡2ξ=1\cosh^2\xi - \sinh^2\xi = 1 を使った)

gxxg_{xx}:

gxx=−(sinh⁡ξ)2+(cosh⁡ξ)2=+1 ✓g_{xx} = -(\sinh\xi)^2 + (\cosh\xi)^2 = +1\ \checkmark

gtxg_{tx}:

gtx=−cosh⁡ξ sinh⁡ξ+sinh⁡ξ cosh⁡ξ=0 ✓g_{tx} = -\cosh\xi\,\sinh\xi + \sinh\xi\,\cosh\xi = 0\ \checkmark

3 成分とも ξ\xi に依存しない結果。つまり ξ\xi を何にしても同じ ημν\eta_{\mu\nu} が出る。

意味:Vierbein A(ξ=0\xi=0 の場合)と Vierbein B(任意の ξ\xi)は確かに別の場だが、計量を作るところでハット添字が縮約された結果、ξ\xi の自由度は計量に痕跡を残さない。
これが「Vierbein を一意に決めない自由度」=局所 Lorentz 自由度の正体。

おまけ:ξ=ξ(t,x)\xi = \xi(t, x) と場所依存にしても、上の計算は各点で同じことをやっているだけなので、結論は変わらない(微分は登場しない)。
これが「各点で別々にやれる」が本当に各点で独立にできる、ということの数式的な理由。