ベクトルの外積 a × b — 計算方法・方向・大きさ

1. 外積って何?

ベクトル $\vec a$ と $\vec b$ の 外積 (cross product) $\vec a \times \vec b$ は、 結果がベクトルになる演算です。 内積 (ドット積) がスカラーになるのと対照的。

外積は 2 つの情報で決まります:

• 大きさ: $\vec a$ と $\vec b$ が作る平行四辺形の面積
• 向き: 2 つのベクトルが張る平面に垂直で、右ねじの法則で決まる側

2. 大きさ: 平行四辺形の面積

外積の大きさは、$\vec a$ と $\vec b$ の間の角度を $\theta$ として:

これは平行四辺形の面積と一致します。底辺 $|\vec a|$、 高さ $|\vec b| \sin\theta$ の面積。

向きが平行 ($\theta = 0$ または $\pi$) のときは $\sin\theta = 0$ なので $\vec a \times \vec b = \vec 0$。 つまり 平行なベクトル同士の外積はゼロ。

3. 向き: 右ねじの法則

外積の向きは、$\vec a$ と $\vec b$ が張る平面に 垂直な 2 方向のうち、右ねじの法則で選ばれます。

1. 平面に右ねじ (普通のねじ) を立てる
2. $\vec a$ から $\vec b$ へ回す (角度が小さい側を通る向きに)
3. そのときねじが進む向きが $\vec a \times \vec b$ の向き

回す順序を入れ替える ($\vec b$ から $\vec a$) と、ねじは逆に進むので符号が反転 ($\vec a \times \vec b = -\,\vec b \times \vec a$)。 「ねじは右回しで進む」という日常の感覚そのまま。

4. 成分で計算する

$\vec a = (a_1, a_2, a_3)$、$\vec b = (b_1, b_2, b_3)$ のとき、 外積の成分は次のとおり:

覚えやすいのは、形式的に 3 × 3 の行列式として書く方法:

1 行目を $\vec i, \vec j, \vec k$ 方向の基本ベクトルと見なして、 各基本ベクトルの成分を余因子展開で読み取る。 手で計算するときはこちらが速い。

5. 基本ベクトル i, j, k の関係

直交座標の基本ベクトル $\vec i = (1,0,0),\ \vec j = (0,1,0),\ \vec k = (0,0,1)$ に成分公式を当てはめると:

i → j → k → i の巡回で外積が閉じる (cyclic)。 逆方向は符号反転: $\vec j \times \vec i = -\vec k$ など。

6. 性質

• 反対称 (入れ替えで符号反転): $\vec a \times \vec b = -\,\vec b \times \vec a$
• 分配: $\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c$
• スカラー倍: $(k\vec a) \times \vec b = k\,(\vec a \times \vec b)$
• 平行なら 0: $\vec a \times \vec a = \vec 0$ (自分自身との外積は必ず 0)
• 結合則は成り立たない: 一般に $\vec a \times (\vec b \times \vec c) \ne (\vec a \times \vec b) \times \vec c$

7. 物理での出番

外積は「回転」「ねじれ」に関係する物理量でよく出てきます。

力のモーメント (トルク)

$\vec r$ は回転軸から力の作用点までの位置ベクトル、 $\vec F$ は加えた力。ねじる強さが外積で表される。

ローレンツ力

磁場 $\vec B$ 中を速度 $\vec v$ で動く荷電粒子が受ける力。 速度と磁場の両方に垂直。

角運動量

$\vec p$ は運動量。回転運動の保存量の中心になる量。