ベクトルの外積 a × b

01外積って何?

ベクトル $\vec a$ と $\vec b$ の外積 (cross product) $\vec a \times \vec b$ は、結果がベクトルになる演算です。内積 (ドット積) がスカラーになるのと対照的。

外積は 2 つの情報で決まります

外積の大きさは、 $\vec a$ と $\vec b$ の間の角度を $\theta$ として

|\vec a \times \vec b| = |\vec a|\,|\vec b|\sin\theta

これは平行四辺形の面積と一致します。底辺 $|\vec a|$ 、高さ $|\vec b| \sin\theta$ の面積。

向きが平行 ( $\theta = 0$ または $\pi$ ) のときは $\sin\theta = 0$ なので $\vec a \times \vec b = \vec 0$ 。つまり 平行なベクトル同士の外積はゼロ。

外積の向きは、 $\vec a$ と $\vec b$ が張る平面に垂直な 2 方向のうち、右ねじの法則で選ばれます。

回す順序を入れ替える ( $\vec b$ から $\vec a$ ) と、ねじは逆に進むので符号が反転 ( $\vec a \times \vec b = -\,\vec b \times \vec a$ )。「ねじは右回しで進む」という日常の感覚そのまま。

$\vec a = (a_1, a_2, a_3)$ 、 $\vec b = (b_1, b_2, b_3)$ のとき、外積の成分は次のとおり

\vec a \times \vec b = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

覚えやすいのは、形式的に 3 × 3 の行列式として書く方法

\vec a \times \vec b = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}

1 行目を $\vec i, \vec j, \vec k$ 方向の基本ベクトルと見なして、各基本ベクトルの成分を余因子展開で読み取る。手で計算するときはこちらが速い。

演習 1

次の 2 ベクトルの外積を計算しよう。

$\vec a = (1, 2, 3)$ 、 $\vec b = (4, 5, 6)$

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成分公式に当てはめる:

\vec a \times \vec b = (-3,\ 6,\ -3)

検算: $\vec a \cdot (\vec a \times \vec b) = 1(-3) + 2(6) + 3(-3) = 0$ ✓
(外積は $\vec a$ と直交する)。

直交座標の基本ベクトル $\vec i = (1,0,0),\ \vec j = (0,1,0),\ \vec k = (0,0,1)$ に成分公式を当てはめると

\vec i \times \vec j = \vec k,\quad \vec j \times \vec k = \vec i,\quad \vec k \times \vec i = \vec j

i → j → k → i の巡回で外積が閉じる (cyclic)。逆方向は符号反転: $\vec j \times \vec i = -\vec k$ など。

反対称 (入れ替えで符号反転) $\vec a \times \vec b = -\,\vec b \times \vec a$
分配 $\vec a \times (\vec b + \vec c) = \vec a \times \vec b + \vec a \times \vec c$
スカラー倍 $(k\vec a) \times \vec b = k\,(\vec a \times \vec b)$
平行なら 0 $\vec a \times \vec a = \vec 0$ (自分自身との外積は必ず 0)
結合則は成り立たない: 一般に $\vec a \times (\vec b \times \vec c) \ne (\vec a \times \vec b) \times \vec c$

外積は「回転」「ねじれ」に関係する物理量でよく出てきます。

\vec\tau = \vec r \times \vec F

$\vec r$ は回転軸から力の作用点までの位置ベクトル、 $\vec F$ は加えた力。ねじる強さが外積で表される。

\vec F = q\vec v \times \vec B

磁場 $\vec B$ 中を速度 $\vec v$ で動く荷電粒子が受ける力。 速度と磁場の両方に垂直。

\vec L = \vec r \times \vec p

$\vec p$ は運動量。回転運動の保存量の中心になる量。

演習 2

てこの先端 $\vec r = (2, 0, 0)$ に力 $\vec F = (0, 3, 0)$ をかけたときのモーメント $\vec\tau = \vec r \times \vec F$ を求めよう。

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成分公式:

\vec\tau = (0,\ 0,\ 6)

物理的には: $x$ 軸方向の棒に $y$ 軸方向の力がかかっているので、回転軸は $z$ 軸に沿って、大きさ 6 の回転モーメントが生じる。右ねじの法則で「反時計回り (上から見て)」。