連成振動 | physics-asks

012 つのおもりの運動方程式

同じ質量 $m$ のおもり 2 つを、壁とばね $k$ でつなぎ、おもりどうしをばね $\kappa$ でつなぎます。つり合いの位置からのずれを $x_1, x_2$ とします。

壁・ばね k・おもり m・ばね κ・おもり m・ばね k・壁の順に並んだ図 — 真ん中のばね κ が 2 つのおもりをつなぐ

真ん中のばねは 2 つのずれの差 $x_1 - x_2$ だけ伸びるので

\begin{aligned} m\,\ddot x_1 &= -k\,x_1 - \kappa\,(x_1 - x_2) \\ m\,\ddot x_2 &= -k\,x_2 - \kappa\,(x_2 - x_1) \end{aligned}

どちらの式にも $x_1$ と $x_2$ が入っていて、1 つずつは解けません。そこで行列で 1 本にまとめます(行列で書く減衰振動)。

m\,\ddot{\mathbf{x}} = -K\,\mathbf{x},\qquad K = \begin{pmatrix} k + \kappa & -\kappa \\ -\kappa & k + \kappa \end{pmatrix},\qquad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}

\begin{gathered}m\,\ddot{\mathbf{x}} = -K\,\mathbf{x},\\[4pt]K = \begin{pmatrix} k + \kappa & -\kappa \\ -\kappa & k + \kappa \end{pmatrix},\\[4pt]\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\end{gathered}

02基準振動を探す

2 つのおもりが同じ振動数で、形を保ったまま揺れる解(基準振動)があれば、それは単振動として扱えます。そういう解を入れると

\mathbf{x} = \mathbf{p}\cos\omega t \quad\Longrightarrow\quad K\,\mathbf{p} = m\,\omega^2\,\mathbf{p}

これは $K$ の固有値 $m\omega^2$ と固有ベクトル $\mathbf{p}$ を求める問題です(演習 1)。答えは 2 つあります。

基準振動

\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}},\ \ \mathbf{p}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix};\qquad \omega_2 = \sqrt{\frac{k + 2\kappa}{m}},\ \ \mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}

\begin{gathered}\omega_1 = \sqrt{\frac{k}{m}},\ \ \mathbf{p}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix};\\[4pt]\omega_2 = \sqrt{\frac{k + 2\kappa}{m}},\ \ \mathbf{p}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}\end{gathered}

上は 2 つのおもりが同じ向きに動く基準振動、下は逆向きに動く基準振動 — 2 つの基準振動。同じ向きなら真ん中のばねは伸びず、逆向きなら真ん中のばねも効いて速く揺れる

この揺れ方を基準振動と呼びます。式は線形なので、どんな動きも 2 つの基準振動の重ね合わせです(重ね合わせ)。

\begin{aligned} \mathbf{x}(t) &= A_1\,\mathbf{p}_1\cos(\omega_1 t + \phi_1) \\ &\quad + A_2\,\mathbf{p}_2\cos(\omega_2 t + \phi_2) \end{aligned}

$A_1, A_2, \phi_1, \phi_2$ の 4 つは、はじめの位置 2 つと速さ 2 つで決まるので、これですべての動きを表せます。

速さに比例する抵抗があっても、2 つのおもりの抵抗が同じなら、それぞれの基準振動が別々に減衰します(抵抗が弱ければ減衰振動)。

演習 1

$K$ の固有値を、 $\det(K - \mu I) = 0$ を解いて求めよう( $\mu = m\omega^2$ )。

答えを見る

$\begin{aligned} &\det\begin{pmatrix} k + \kappa - \mu & -\kappa \\ -\kappa & k + \kappa - \mu \end{pmatrix} \\ &= (k + \kappa - \mu)^2 - \kappa^2 = 0 \end{aligned}$

より $k + \kappa - \mu = \pm\kappa$ 、つまり $\mu = k$ と $\mu = k + 2\kappa$ 。 $\omega = \sqrt{\mu/m}$ で、本文の $\omega_1, \omega_2$ になる。

03揺れが行き来する

では、片方だけ引いて離すとどうなるか。 $x_1 = 1,\ x_2 = 0$ から静かに離すと、2 つの基準振動が半分ずつ混ざり(演習 2)

x_1 = \cos\frac{(\omega_2 - \omega_1)t}{2}\,\cos\frac{(\omega_1 + \omega_2)t}{2},\qquad x_2 = \sin\frac{(\omega_2 - \omega_1)t}{2}\,\sin\frac{(\omega_1 + \omega_2)t}{2}

\begin{gathered}x_1 = \cos\frac{(\omega_2 - \omega_1)t}{2}\,\cos\frac{(\omega_1 + \omega_2)t}{2},\\[4pt]x_2 = \sin\frac{(\omega_2 - \omega_1)t}{2}\,\sin\frac{(\omega_1 + \omega_2)t}{2}\end{gathered}

真ん中のばねが弱く $\omega_1 \approx \omega_2$ なら、速い揺れ $(\omega_1 + \omega_2)/2$ の振幅が、ゆっくり $\cos$ と $\sin$ で入れかわります。揺れが 1 つ目から 2 つ目へ移り、また戻ってきます(うなり)。

x1 と x2 のグラフ。x1 の揺れが小さくなると x2 の揺れが大きくなり、交互に入れかわる — k = 10 N/m、κ = 1 N/m、m = 0.1 kg。約 3.3 s ごとに揺れがもう片方へ移る

例題 1 $k = 10\ \mathrm{N/m},\ \kappa = 1\ \mathrm{N/m},\ m = 0.1\ \mathrm{kg}$ で、揺れが 2 つ目へ移りきるまでの時間

\omega_1 = \sqrt{100} = 10.0\ \mathrm{s^{-1}},\qquad \omega_2 = \sqrt{120} = 10.95\ \mathrm{s^{-1}}

\begin{gathered}\omega_1 = \sqrt{100} = 10.0\ \mathrm{s^{-1}},\\[4pt]\omega_2 = \sqrt{120} = 10.95\ \mathrm{s^{-1}}\end{gathered}

$x_1$ の振幅 $\cos((\omega_2 - \omega_1)t/2)$ が 0 になるのは

t = \frac{\pi}{\omega_2 - \omega_1} = \frac{3.14}{0.95} = 3.3\ \mathrm{s}

演習 2

最初に $x_1 = 1,\ x_2 = 0$ (どちらも静止)から離したとき、本文の $x_1, x_2$ の式になることを確かめよう。

答えを見る

速さが 0 なので $A_1\sin\phi_1\,\omega_1\mathbf{p}_1 + A_2\sin\phi_2\,\omega_2\mathbf{p}_2 = \mathbf{0}$ 。 $\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2$ は向きが違うので $A_1\sin\phi_1 = A_2\sin\phi_2 = 0$ で、 $\phi_1 = \phi_2 = 0$ にとれる(符号は $A$ に入れる)。 $\mathbf{x}(0) = A_1(1, 1) + A_2(1, -1) = (1, 0)$ より $A_1 = A_2 = 1/2$ 。

$x_1 = \tfrac{1}{2}(\cos\omega_1 t + \cos\omega_2 t),\qquad x_2 = \tfrac{1}{2}(\cos\omega_1 t - \cos\omega_2 t)$ $\begin{gathered}x_1 = \tfrac{1}{2}(\cos\omega_1 t + \cos\omega_2 t),\\[4pt]x_2 = \tfrac{1}{2}(\cos\omega_1 t - \cos\omega_2 t)\end{gathered}$

和積の公式 $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$ 、 $\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$ で本文の形になる。