抵抗の形で何が変わるか

01抵抗はいつも速さに比例?

実際の抵抗には、よく出てくる形が 3 つあります。

速さに比例 $F = -b\dot x$ :液体の中をゆっくり動くとき(粘性抵抗)。減衰振動の式はこれ。
速さの 2 乗 $F = -c\,\dot x|\dot x|$ :空気の中を速く動くとき。
大きさ一定 $F = -F_0\,\mathrm{sgn}(\dot x)$ :机の上を滑るとき(動摩擦)。

3 つとも揺れながら小さくなり、見た目はよく似ています。

3 種類の抵抗での x(t)。どれも揺れながら小さくなり、見た目は似ている — m = k = 1、x(0) = 1、ẋ(0) = 0 で、b = 0.05、c = 0.06、F₀ = 0.015 の 3 種類の抵抗の動き

2 乗や摩擦の式は線形ではないので、特性方程式では解けません。そこで、1 周期で失うエネルギーから振幅の減り方を出します。

02エネルギーで減り方を出す

抵抗 $F$ がする仕事の分だけ、エネルギー $E$ が減ります。山では $\dot x = 0$ なので、振幅 $A$ とは $E = \frac{1}{2}kA^2$ の関係です。

\frac{dE}{dt} = F\,\dot x,\qquad E = \frac{1}{2}m\dot x^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2

\begin{gathered}\frac{dE}{dt} = F\,\dot x,\\[4pt]E = \frac{1}{2}m\dot x^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2\end{gathered}

抵抗が弱く、1 周期の間はほぼ単振動 $x \approx A\cos\omega_0 t$ ( $\omega_0^2 = k/m$ )とみなせるとき、 $\Delta E = kA\,\Delta A$ から

x \approx A\cos\omega_0 t,\qquad \Delta A \approx \frac{\Delta E}{kA}\quad(\Delta E \text{ は 1 周期で失うエネルギー})

\begin{gathered}x \approx A\cos\omega_0 t,\\[4pt]\Delta A \approx \frac{\Delta E}{kA}\quad(\Delta E \text{ は 1 周期で失うエネルギー})\end{gathered}

1 周期で $|F\dot x|$ を積分すると、3 つの場合で次のようになります( $\int_0^{2\pi}|\sin\theta|^3 d\theta = 8/3$ を使う)。

速さに比例

\Delta E = \pi b\,\omega_0 A^2 \quad\Rightarrow\quad \Delta A = \frac{2\pi\gamma}{\omega_0}\,A\qquad \Bigl(\gamma = \frac{b}{2m}\Bigr)

\begin{gathered}\Delta E = \pi b\,\omega_0 A^2 \quad\Rightarrow\quad \Delta A = \frac{2\pi\gamma}{\omega_0}\,A\\[4pt]\Bigl(\gamma = \frac{b}{2m}\Bigr)\end{gathered}

F = -b\,\dot x

減りは $A$ に比例するので、振幅は毎周期同じ割合で減ります(対数減衰率 $\delta = 2\pi\gamma/\omega_d \approx 2\pi\gamma/\omega_0$ と同じ)。

速さの 2 乗

\Delta E = \frac{8}{3}\,c\,\omega_0^2 A^3 \quad\Rightarrow\quad \Delta A = \frac{8c}{3m}\,A^2,\qquad \frac{1}{A_{n+1}} - \frac{1}{A_n} \approx \frac{8c}{3m}

\begin{gathered}\Delta E = \frac{8}{3}\,c\,\omega_0^2 A^3 \quad\Rightarrow\quad \Delta A = \frac{8c}{3m}\,A^2,\\[4pt]\frac{1}{A_{n+1}} - \frac{1}{A_n} \approx \frac{8c}{3m}\end{gathered}

F = -c\,\dot x|\dot x|

減りは $A^2$ に比例し、大きく揺れているときほど速く減ります。 $1/A$ が毎周期同じ量だけ増えます。

摩擦

\Delta A = \frac{4F_0}{k}\quad(\text{近似なし})

F = -F_0\,\mathrm{sgn}(\dot x)

摩擦の大きさは速さによらないので、半周期ごとに単振動の中心が $\pm F_0/k$ ずれた動きをつなぐことになり、半周期で $2F_0/k$ 、1 周期で $4F_0/k$ ずつ、振幅が同じ量で減ります(ここは近似ではない)。山で $|x| \le F_0/k$ になると、ばねの力が摩擦に負けて止まります(最大静止摩擦も $F_0$ とみなす。静止摩擦のほうが大きければ、もっと手前で止まる)。

例題 1 $k = 10\ \mathrm{N/m}$ 、動摩擦 $F_0 = 0.050\ \mathrm{N}$ 、最初の山 $10.0\ \mathrm{cm}$ 。同じ側の山はどう並ぶか。

\frac{4F_0}{k} = \frac{4 \times 0.050}{10} = 0.020\ \mathrm{m} = 2.0\ \mathrm{cm}

同じ側の山は $10.0,\ 8.0,\ 6.0,\ 4.0,\ 2.0\ \mathrm{cm}$ とまっすぐ減ります。半周期ごとに 1.0 cm ずつ減るので、2.0 cm の山のあと反対側の 1.0 cm を経て、つり合いの位置( $F_0/k = 0.50\ \mathrm{cm}$ 以内)で止まります。

03グラフで見分ける

実験の抵抗がどの形かは、山の高さ $A_n$ を山の番号 $n$ に対して描くと分かります。3 つの描き方のうち、直線になるものが答えです。

山の高さを ln A、1/A、A で描いた 3 つのグラフ。それぞれ 1 種類の抵抗だけが直線になる — 濃い線が、その描き方で直線になる抵抗。薄い線はほかの 2 つ

抵抗	直線になる縦軸	傾きから分かるもの
速さに比例	$\ln A_n$	$-\delta \approx -2\pi\gamma/\omega_0$
速さの 2 乗	$1/A_n$	$8c/3m$
摩擦	$A_n$	$-4F_0/k$

実際は 2 つ以上が混ざることも多く、そのときはどれも少し曲がります。つり合いの位置がずれていても曲がるので、まずそちらを確かめます(減衰振動のデータ解析)。

演習 1

空気抵抗(速さの 2 乗)で揺れるおもりの山が $10\ \mathrm{cm}$ 、次が $8\ \mathrm{cm}$ だった。その次の山はおよそ何 cm か。

答えを見る

$1/A_n$ が一定ずつ増える。

$\frac{1}{10} = 0.100,\qquad \frac{1}{8} = 0.125\ (\text{増え } 0.025),\qquad \frac{1}{A_2} \approx 0.150$ $\begin{gathered}\frac{1}{10} = 0.100,\\[4pt]\frac{1}{8} = 0.125\ (\text{増え } 0.025),\\[4pt]\frac{1}{A_2} \approx 0.150\end{gathered}$

よって $A_2 \approx 6.7\ \mathrm{cm}$ 。速さに比例する抵抗なら $8 \times 0.8 = 6.4\ \mathrm{cm}$ 、摩擦なら $6\ \mathrm{cm}$ になるので、3 つ目の山で見分けられる。