01振り子の運動方程式

まず、振り子がどんな式で動くかを立てます。長さ ℓ\ell の糸の先の、質量 mm のおもり。円の接線方向に働く力は、重力の成分 −mgsin⁡θ-mg\sin\theta だけです(糸の張力は糸の方向なので効かない)。

振り子のおもりに働く重力 mg と、その接線方向の成分 −mg sin θ

弧の長さは s=ℓθs = \ell\theta で ℓ\ell は一定なので、接線方向の加速度は s¨=ℓθ¨\ddot s = \ell\ddot\theta。よって

mℓ θ¨=−mgsin⁡θ⟹θ¨+gℓsin⁡θ=0m\ell\,\ddot\theta = -mg\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad \ddot\theta + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0

sin⁡θ\sin\theta が入っているので、この式は線形ではありません。解を足しても解にならず(重ね合わせ)、定数係数の解き方も使えません。

02sin θ ≈ θ はなぜか

そこで sin⁡θ\sin\theta を θ=0\theta = 0 のまわりでテイラー展開します(θ\theta はラジアン)。

sin⁡θ=θ−θ36+θ5120−⋯\sin\theta = \theta - \frac{\theta^3}{6} + \frac{\theta^5}{120} - \cdots

θ\theta が小さいと θ3\theta^3 以降はずっと小さいので、sin⁡θ≈θ\sin\theta \approx \theta です(θ>0\theta > 0 では θ−θ3/6≤sin⁡θ≤θ\theta - \theta^3/6 \le \sin\theta \le \theta なので、差は θ3/6\theta^3/6 以下)。相対的なずれは 1−sin⁡θ/θ≈θ2/61 - \sin\theta/\theta \approx \theta^2/6 で、角度の 2 乗で増えます。

sin θ、θ、θ − θ³/6 のグラフ。20° くらいまでは sin θ と θ がほぼ重なる
20° くらいまで sin θ は θ とほぼ同じ(ずれ約 2%)。θ − θ³/6 まで入れると 60° くらいまで合う
振れ5°10°20°30°
sin θ と θ のずれ0.13%0.51%2.0%4.5%

演習 1

振れ 15∘15^\circ で sin⁡θ\sin\theta を θ\theta とみなすと、何 % ずれるか。

答えを見る

15∘=0.2618 rad15^\circ = 0.2618\ \mathrm{rad}、sin⁡15∘=0.2588\sin 15^\circ = 0.2588。

1−sin⁡θθ=1−0.25880.2618=0.0111 - \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 - \frac{0.2588}{0.2618} = 0.011

約 1.1% ずれる。θ2/6=0.0114\theta^2/6 = 0.0114 とも合う。

03単振動になる

sin⁡θ\sin\theta を θ\theta に置きかえると、線形な単振動の式になります。

単振動の式
θ¨+ω02 θ=0,ω0=gℓ,T0=2πℓg\ddot\theta + \omega_0^2\,\theta = 0,\qquad \omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}},\qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}θ¨+ω02 θ=0,ω0=gℓ,T0=2πℓg\begin{gathered}\ddot\theta + \omega_0^2\,\theta = 0,\\[4pt]\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{\ell}},\\[4pt]T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}\end{gathered}

この近似の範囲では、周期 T0T_0 は振幅によらず、糸の長さと gg だけで決まります(等時性)。速さに比例する抵抗があれば 減衰振動 の式 θ¨+2γθ˙+ω02θ=0\ddot\theta + 2\gamma\dot\theta + \omega_0^2\theta = 0 になります。

04振れが大きいと周期が延びる

等時性は近似の結果です。元の式のまま周期を求めると(楕円積分になる)、振幅 θ0\theta_0 が大きいほど周期は長くなり、小さい振幅では

周期の補正
T=T0(1+θ0216+11 θ043072+⋯ )T = T_0\Bigl(1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \frac{11\,\theta_0^4}{3072} + \cdots\Bigr)
T0=2πℓ/gT_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g}
振幅に対する周期の比 T/T0。厳密な値と近似 1 + θ0²/16 は 40° くらいまでほぼ重なる
周期の比 T/T0。1 + θ02/16 は 40° くらいまでよく合う
振幅10°20°30°60°90°
周期の延び0.19%0.77%1.7%7.3%18%

例題 1長さ 1.00 m1.00\ \mathrm{m} の振り子(g=9.80 m/s2g = 9.80\ \mathrm{m/s^2})を振幅 20° で揺らす。周期は。

T0=2π1.009.80=2.007 sT_0 = 2\pi\sqrt{\frac{1.00}{9.80}} = 2.007\ \mathrm{s}
20∘=0.349 rad,θ0216=0.0076,T≈2.007×1.0076=2.022 s20^\circ = 0.349\ \mathrm{rad},\qquad \frac{\theta_0^2}{16} = 0.0076,\qquad T \approx 2.007 \times 1.0076 = 2.022\ \mathrm{s}20∘=0.349 rad,θ0216=0.0076,T≈2.007×1.0076=2.022 s\begin{gathered}20^\circ = 0.349\ \mathrm{rad},\\[4pt]\frac{\theta_0^2}{16} = 0.0076,\\[4pt]T \approx 2.007 \times 1.0076 = 2.022\ \mathrm{s}\end{gathered}

単振動とみなした周期より 0.015 s 長くなります。周期を 0.1% の精度で測る実験なら、この差は見えます。

演習 2

振幅 45∘45^\circ の振り子の周期は、T0T_0 より何 % 長いか。1+θ02/161 + \theta_0^2/16 で見積もろう。

答えを見る

θ0=45∘=0.7854 rad\theta_0 = 45^\circ = 0.7854\ \mathrm{rad}。

θ0216=0.616916=0.0386\frac{\theta_0^2}{16} = \frac{0.6169}{16} = 0.0386

約 3.9% 長い(厳密な値は 4.0%)。