対数減衰率と Q 値

01隣り合う山の比

まず、山の高さの比が何で決まるかを調べます。抵抗が弱いとき( $\gamma < \omega_0$ )の動きは(減衰振動の定式化)

x(t) = A\,e^{-\gamma t}\cos(\omega_d t + \phi),\qquad \omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}

\begin{gathered}x(t) = A\,e^{-\gamma t}\cos(\omega_d t + \phi),\\[4pt]\omega_d = \sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}\end{gathered}

周期 $T_d = 2\pi/\omega_d$ だけ時間を進めると、cos の中は $2\pi$ 増えて元に戻り、 $e^{-\gamma t}$ の分だけが残ります。

\begin{aligned} x(t + T_d) &= A\,e^{-\gamma (t + T_d)}\cos(\omega_d t + 2\pi + \phi) \\ &= e^{-\gamma T_d}\,x(t) \end{aligned}

どの時刻でも、 $T_d$ 後の値はちょうど $e^{-\gamma T_d}$ 倍です。 $\dot x$ も同じ形なので、 $\dot x = 0$ になる山( $x$ の極大)も $T_d$ ごとに来ます。 $n$ 番目の山の高さを $x_n$ とすると、近似なしで

\frac{x_{n+1}}{x_n} = e^{-\gamma T_d}

山の高さの比を測れば、 $\gamma T_d$ が分かります。

減衰振動の x(t) と、山の点 x0, x1, x2, x3、隣の山の間隔 T_d — 山の高さ *x₀, x₁, x₂, …* は 1 周期 *T_d* ごとに同じ比で小さくなる(γ = 0.1, ω₀ = 1)。破線は包絡線 *A e^−γt*

山の点は、破線に接する点より少し手前です。それでも間隔は $T_d$ で、比は上の式どおりです。

02対数減衰率

比 $e^{-\gamma T_d}$ のままだと、何周期分かをまとめて扱いにくい。対数をとると掛け算が足し算になり、 $\gamma T_d$ がそのまま出ます。これが対数減衰率です。

対数減衰率

\delta \equiv \ln\frac{x_n}{x_{n+1}} = \gamma\,T_d = \frac{2\pi\gamma}{\omega_d}

T_d = 2\pi/\omega_d

山は 1 周期ごとに $e^{-\delta}$ 倍になるので、 $N$ 周期離れた山を使っても求められます。

\delta = \frac{1}{N}\ln\frac{x_0}{x_N}

離れた山を使うと、測定の誤差が効きにくくなります。たくさんの山があれば、 $n$ に対する $\ln x_n$ に直線を合わせ、傾きから $-\delta$ を読みます(減衰振動のデータ解析)。 $x_n$ はつり合いの位置から測った高さです。

03近似はどこまで正しいか

教科書や実験の手引きでは、 $\omega_d$ を $\omega_0$ で置きかえた式がよく使われます。

\delta = \frac{2\pi\gamma}{\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}} \approx \frac{2\pi\gamma}{\omega_0}\qquad (\gamma \ll \omega_0)

\begin{gathered}\delta = \frac{2\pi\gamma}{\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}} \approx \frac{2\pi\gamma}{\omega_0}\\[4pt](\gamma \ll \omega_0)\end{gathered}

近似式の値は正しい値の $\sqrt{1 - (\gamma/\omega_0)^2}$ 倍で、少し小さくなります。正しい値に対して何 % 小さいかを計算すると

$\gamma/\omega_0$	$\delta$ (およそ)	正しい値との差
0.01	0.063	0.005%
0.05	0.31	0.13%
0.1	0.63	0.50%
0.3	2.0	4.6%

ずれはおよそ $\frac{1}{2}(\gamma/\omega_0)^2$ で、 $\gamma/\omega_0$ が 0.1 くらいまでなら、ふつうの測定の誤差よりずっと小さく収まります。

04Q 値

$\delta$ は抵抗が弱いと小さな数になり、読みにくい。逆数に近い Q 値のほうが読みやすい数です( $Q \approx \pi/\delta$ なので、振幅は約 $Q/\pi$ 周期で $1/e$ になる)。抵抗が弱いほど大きくなります。

Q 値

Q \equiv \frac{\omega_0}{2\gamma}

対数減衰率とは、近似なしで次の関係があります。

\frac{\pi}{\delta} = \frac{\sqrt{\omega_0^2 - \gamma^2}}{2\gamma} = Q\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}} \approx Q

$Q$ が大きい(抵抗が弱い)ほど $Q \approx \pi/\delta$ はよく合います。振幅が半分になるまでの周期の数は

N_{1/2} = \frac{\ln 2}{\delta} \approx \frac{Q \ln 2}{\pi}

例題 1ある山の高さが 10.0、次の山が 9.0 だった。δ、Q、振幅が半分になるまでの周期の数は。

\delta = \ln\frac{10.0}{9.0} = 0.1054,\qquad Q \approx \frac{\pi}{0.1054} = 29.8,\qquad N_{1/2} = \frac{\ln 2}{0.1054} = 6.6

\begin{gathered}\delta = \ln\frac{10.0}{9.0} = 0.1054,\\[4pt]Q \approx \frac{\pi}{0.1054} = 29.8,\\[4pt]N_{1/2} = \frac{\ln 2}{0.1054} = 6.6\end{gathered}

約 6.6 周期で振幅が半分になります。

Q 値には、ここで使った $\omega_0/2\gamma$ のほかに、エネルギーや共鳴の幅から決める定義もあります。抵抗が弱いときはどれもほぼ同じ値になりますが、強いときは一致しません。

演習 1

減衰振動を測ったら、ある山の高さが $10.0$ 、次の山が $8.0$ だった。対数減衰率 $\delta$ と、Q 値のおよその値を求めよう。

答えを見る

$\delta = \ln\frac{10.0}{8.0} = \ln 1.25 \approx 0.223$

$\delta$ が小さいので $Q \approx \pi/\delta$ が使えて

$Q \approx \frac{\pi}{0.223} \approx 14.$

厳密な式 $\pi/\delta = Q\sqrt{1 - 1/(4Q^2)}$ との差は、 $Q = 14$ なら 0.1% より小さい。

演習 2

$Q = 50$ の振り子は、何周期で振幅が半分になるか。

答えを見る

$\delta \approx \pi/Q = \pi/50 \approx 0.0628$ 。山の高さは 1 周期ごとに $e^{-\delta}$ 倍なので、 $N$ 周期で $e^{-N\delta}$ 倍。これが $1/2$ になるのは

$N = \frac{\ln 2}{\delta} \approx \frac{0.693}{0.0628} \approx 11$

で、約 11 周期です。

05エネルギーで見る Q 値

Q 値が何を表すかを、エネルギーで見ます。ばねのエネルギーと運動エネルギーの和 $E$ は、抵抗があると減っていきます(演習 3)。ここでは元の係数 $m, b, k$ で書きます( $2\gamma = b/m,\ \omega_0^2 = k/m$ )。

E = \frac{1}{2}m\dot x^2 + \frac{1}{2}k x^2,\qquad \frac{dE}{dt} = \dot x\,(m\ddot x + k x) = -b\,\dot x^2 \le 0

\begin{gathered}E = \frac{1}{2}m\dot x^2 + \frac{1}{2}k x^2,\\[4pt]\frac{dE}{dt} = \dot x\,(m\ddot x + k x) = -b\,\dot x^2 \le 0\end{gathered}

1 周期たつと $x$ も $\dot x$ もちょうど $e^{-\gamma T_d}$ 倍になるので、 $E$ はちょうど $e^{-2\gamma T_d}$ 倍になります。1 周期で失う割合は $1 - e^{-2\gamma T_d}$ で、抵抗が弱いと $\approx 2\gamma T_d \approx 4\pi\gamma/\omega_0$ なので

Q \approx 2\pi \times \frac{\text{1 周期のはじめの } E}{\text{1 周期で失うエネルギー}}

エネルギー E(t) が 1 周期ごとにちょうど e^{−2δ} 倍になる様子。周期の中では一様には減らない — E は 1 周期ごとにちょうど *e^−2δ* 倍。周期の中では、速く動くときほど速く減る

Q 値が 100 なら、1 周期で失うエネルギーはたくわえている分の約 $2\pi/100 \approx 6\%$ です。この式の右辺は、抵抗が弱いときだけ $\omega_0/2\gamma$ と一致します(正しくは $2\pi/(1 - e^{-2\delta})$ )。ずれはおよそ $\delta \approx \pi/Q$ の割合で、 $Q = 100$ でも 3% ほど、 $Q = 14$ では 2 割強大きく出ます。このノートでは 04 節の式を Q 値の定義とします。

演習 3

エネルギーの式 $dE/dt = -b\dot x^2$ を、運動方程式 $m\ddot x + b\dot x + kx = 0$ から導こう。

答えを見る

$E = \frac{1}{2}m\dot x^2 + \frac{1}{2}kx^2$ を $t$ で微分する(合成関数の微分)。

$\frac{dE}{dt} = m\dot x\,\ddot x + kx\,\dot x = \dot x\,(m\ddot x + kx).$

運動方程式より $m\ddot x + kx = -b\dot x$ なので

$\frac{dE}{dt} = -b\,\dot x^2.$

$b > 0$ なので、エネルギーは増えることがなく、動いている間( $\dot x \neq 0$ )は減り続ける。