定数係数の 2 階線形微分方程式特性方程式と 3 つの場合

01何を探せばよいか

解を全部見つけるのは大変そうですが、この式は線形で右辺が 0 なので、独立な解を 2 つ見つければ、全部の解はその線形結合で書けます(線形微分方程式の重ね合わせ。結合の係数は複素数でもよい)。2 つが独立かは、Wronskian $W = x_1\dot x_2 - x_2\dot x_1$(2×2 の行列式)が 0 でないことで確かめます。

02指数関数を試す

どんな関数を試すか。$e^{\lambda t}$ は微分しても $\lambda$ 倍になるだけなので、入れると全部の項が $e^{\lambda t}$ でくくれます。

$e^{\lambda t}$ は 0 にならないので($\lambda$ が複素数でも $|e^{\lambda t}| = e^{(\mathrm{Re}\,\lambda) t} > 0$。微分の公式 $(e^{\lambda t})' = \lambda e^{\lambda t}$ も複素数の $\lambda$ で成り立つ。Euler の公式)、$e^{\lambda t}$ が解になるのは $\lambda$ が特性方程式の解のときで、そのときに限ります。微分方程式の解 $x(t)$ と区別するため、特性方程式の解は根と呼びます。

特性方程式は $\lambda$ の二次方程式なので、根は判別式 $p^2 - 4q$ の符号で 3 通り考えられます(二次方程式)。それぞれで解の形が決まります。

03異なる 2 つの実数の根 ($p^2 - 4q > 0$)

2 つの根から、解 $e^{\lambda_1 t}$ と $e^{\lambda_2 t}$ が出ます。確かめるのは、この 2 つが独立かどうかです。$\lambda_1 \neq \lambda_2$ なら Wronskian は 0 にならず、独立です。

04重根 ($p^2 - 4q = 0$)

根が $\lambda_0 = -p/2$ の 1 つだけだと、指数関数の解も 1 つしか出ず、2 つ目が足りません。そこで $x = u(t)\,e^{\lambda_0 t}$ とおいて、$u$ の式を調べます(どんな $x$ も $u = x\,e^{-\lambda_0 t}$ でこう書ける)。

重根なので $\lambda_0^2 + p\lambda_0 + q = 0$ かつ $2\lambda_0 + p = 0$ で、残るのは $\ddot u = 0$。2 回積分して $u = C_1 + C_2 t$ なので

すべての解についての置き換えなので、これで解は全部です。2 つ目の解 $t\,e^{\lambda_0 t}$ は当てずっぽうではなく、こうして出てきます。

05複素数の根 ($p^2 - 4q < 0$)

根が複素数だと、解 $e^{\lambda t}$ も複素数になります。ほしいのは実数の解です。

02 節のとおり、$e^{(\alpha \pm i\beta)t}$ は複素数の値をとる解です。Euler の公式で書き直し、足して 2 で割る・引いて $2i$ で割ると、実数の解が 2 つ出ます(線形結合なので、やはり解)。

$x(0)$ と $\dot x(0)$ が実数なら $C_1, C_2$ も実数です。合成すると $x = A\,e^{\alpha t}\cos(\beta t + \phi)$ とも書けます。