二次方程式平方完成、解の公式と判別式

01平方完成と解の公式

$x^2 + px + q = 0$($p, q$ は実数)を解きます。$ax^2 + bx + c = 0$ なら、$a$ で割ればこの形になります。

$x^2 = 4$ なら $x = \pm 2$ とすぐ解けます。ところが $x^2 + px + q = 0$ では $x$ が $x^2$ と $px$ の 2 か所にあって、平方根をとれません。そこで、$(\cdots)^2 = \text{数}$ の形に直します。これが平方完成です。

平方完成

$x^2 + px$ を面積で見ます。1 辺 $x$ の正方形に、$px$ を半分ずつ 2 本の長方形にして並べると、1 辺 $x + p/2$ の正方形まで角の $(p/2)^2$ だけ足りません。

これを元の式に入れて、数の項を右へ移すと

$x$ が 1 か所になったので、両辺の平方根をとれます。

解の公式

平方完成した式の $p/2$ を右へ移せば、どの二次方程式でも使える式になります。

根号の中の $p^2 - 4q$ を判別式と呼びます。

02解は 3 通り

判別式が負だと、根号の中が負になります。解はいつも求まるのか。$y = x^2 + px + q$ のグラフで、横軸と交わる所が実数解です。

• $p^2 - 4q > 0$:異なる 2 つの実数解
• $p^2 - 4q = 0$:重解 $x = -p/2$(2 つの解が重なる)
• $p^2 - 4q < 0$:実数解はない。$\sqrt{p^2 - 4q} = i\sqrt{4q - p^2}$ とすると、虚数解が 2 つ

2 つの虚数解は、虚部の符号だけが違います(共役)。どの場合も、解の和と積は係数で決まります(右辺を展開すると確かめられる)。