テイラー展開 | physics-asks

01多項式で近づける

$x = a$ の近くで $f(x)$ に近い多項式がほしい。まず思いつくのは接線 $f(a) + f'(a)(x - a)$ です(一次近似)。値と傾きは合いますが、曲がり方が合わないので、 $a$ から離れるとすぐずれます。そこで、2 階、3 階の微分まで合わせます。

f(x) = c_0 + c_1 (x - a) + c_2 (x - a)^2 + c_3 (x - a)^3 + \cdots

とおいて $n$ 回微分し $x = a$ を入れると、 $(x - a)^n$ の項だけが残って $n!\,c_n$ になります。

f^{(n)}(a) = n!\,c_n \quad\Longrightarrow\quad c_n = \frac{f^{(n)}(a)}{n!}

テイラー展開

f(x) = f(a) + f'(a)\,(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}\,(x - a)^2 + \cdots

項を増やすほど、0 から離れた所まで合うようになります。

例題 1 $\sqrt{x}$ を $x = 4$ のまわりで $(x - 4)^2$ の項まで展開し、 $\sqrt{4.1}$ の近い値を求める

$f = x^{1/2},\ f' = \tfrac{1}{2}x^{-1/2},\ f'' = -\tfrac{1}{4}x^{-3/2}$ で、 $x = 4$ では $2,\ \tfrac{1}{4},\ -\tfrac{1}{32}$ です。

\sqrt{x} \approx 2 + \frac{x - 4}{4} - \frac{(x - 4)^2}{64}

$x = 4.1$ では $2 + 0.025 - 0.00016 = 2.02484$ (正しい値は $2.024846\ldots$ )。 $\sqrt{x}$ は $x = 0$ で微分できないので、0 のまわりでは展開できません。

$a = 0$ のときがいちばんよく使われ、マクローリン展開と呼びます。

マクローリン展開

f(x) = f(0) + f'(0)\,x + \frac{f''(0)}{2!}\,x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}\,x^3 + \cdots

例題 2 $e^x$ をマクローリン展開する

$e^x$ は何回微分しても $e^x$ なので、 $f^{(n)}(0) = 1$ です。

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

同じようにして、よく使うものは次のとおりです。

\begin{aligned} e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ \sin x &= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \\ \cos x &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \end{aligned}

この 3 つは、どんな $x$ でも右辺が収束して左辺に等しくなります。ただし、すべての関数がそうではありません。たとえば $\sqrt{1 + x}$ のマクローリン展開は $|x| < 1$ でしか収束しません。

振り子の $\sin\theta \approx \theta$ は $\sin$ の展開の最初の項です(振り子の近似)。 $e^{i\theta}$ は、 $e^x$ の展開に $i\theta$ を入れて決めます(Euler の公式)。

演習 1

$\cos x$ を $x^4$ の項まで展開しよう。

答えを見る

$\cos x$ を微分していくと $\cos x,\ -\sin x,\ -\cos x,\ \sin x,\ \cos x$ で、 $x = 0$ では $1, 0, -1, 0, 1$ 。

$\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$

実際には途中の項で止めて使います。どれだけずれるかは、次の式で分かります( $f$ が $n + 1$ 回微分できるとき)。

f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}\,(x - a)^k + \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}\,(x - a)^{n+1}

$c$ は $a$ と $x$ の間のどこかの数です。最後の項が誤差で、 $x$ が $a$ に近いほど、次数が高いほど小さくなります。

例題 3 $\sin 0.1$ を $x^3$ の項まで使って求め、誤差を見積もる

\sin 0.1 \approx 0.1 - \frac{0.1^3}{6} = 0.0998333

$\sin$ の $x^4$ の項は 0 なので、 $n = 4$ として誤差は $|\cos c|\,0.1^5/120 \le 8.4 \times 10^{-8}$ です。正しい値は $0.0998334$ です。

演習 2

$\sqrt{1 + x}$ を $x^2$ の項まで展開し、 $\sqrt{1.02}$ の近い値を求めよう。

答えを見る

$f = (1 + x)^{1/2}$ 、 $f' = \tfrac{1}{2}(1 + x)^{-1/2}$ 、 $f'' = -\tfrac{1}{4}(1 + x)^{-3/2}$ で、 $x = 0$ では $1,\ \tfrac{1}{2},\ -\tfrac{1}{4}$ 。

$\sqrt{1 + x} \approx 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8}$

$x = 0.02$ を入れると $1 + 0.01 - 0.00005 = 1.00995$ (正しい値は $1.009950\ldots$ )。