01e の虚数乗とは

eiθe^{i\theta} を「ee を iθi\theta 回かける」とは読めません。そこで、実数のときに成り立つ級数(テイラー展開)を、複素数 zz でも使えるように定義とします。

ez=∑n=0∞znn!=1+z+z22!+z33!+⋯e^{z} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} = 1 + z + \frac{z^{2}}{2!} + \frac{z^{3}}{3!} + \cdots

この級数はどんな複素数でも収束し、zz が実数ならいつもの exe^{x} です。実数のときと同じ次の性質も成り立ちます(級数の掛け算と、項ごとの微分で示せる)。

ez+w=ez ew,ddt eλt=λ eλt(λ は複素数でもよい)e^{z+w} = e^{z}\,e^{w},\qquad \frac{d}{dt}\,e^{\lambda t} = \lambda\,e^{\lambda t}\quad(\lambda \text{ は複素数でもよい})ez+w=ez ew,ddt eλt=λ eλt(λ は複素数でもよい)\begin{gathered}e^{z+w} = e^{z}\,e^{w},\\[4pt]\frac{d}{dt}\,e^{\lambda t} = \lambda\,e^{\lambda t}\quad(\lambda \text{ は複素数でもよい})\end{gathered}

02Euler の公式

では eiθe^{i\theta}(θ\theta は実数)はどんな数か。級数に z=iθz = i\theta を入れると、ii のべき i2=−1,i3=−i,i4=1,i5=i, …i^{2} = -1,\quad i^{3} = -i,\quad i^{4} = 1,\quad i^{5} = i,\ \ldots のため、nn が偶数の項は実数、奇数の項は ii つきになります。分けて並べると(絶対収束するので並べ替えてよい)

eiθ=(1−θ22!+θ44!−⋯ )+i(θ−θ33!+θ55!−⋯ )\begin{aligned} e^{i\theta} &= \Bigl(1 - \frac{\theta^{2}}{2!} + \frac{\theta^{4}}{4!} - \cdots\Bigr) \\ &\quad + i\Bigl(\theta - \frac{\theta^{3}}{3!} + \frac{\theta^{5}}{5!} - \cdots\Bigr) \end{aligned}

かっこの中は cos と sin の級数 cos⁡θ=1−θ22!+θ44!−⋯ ,sin⁡θ=θ−θ33!+θ55!−⋯\cos\theta = 1 - \frac{\theta^{2}}{2!} + \frac{\theta^{4}}{4!} - \cdots,\qquad \sin\theta = \theta - \frac{\theta^{3}}{3!} + \frac{\theta^{5}}{5!} - \cdots そのものなので

Euler の公式
eiθ=cos⁡θ+isin⁡θe^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta

eiθe^{i\theta} は、複素平面で半径 1 の円の上を角度 θ\theta だけ回った点です。実部が cos⁡θ\cos\theta、虚部が sin⁡θ\sin\theta です。

複素平面の半径 1 の円の上の点 e^{iθ}。実部が cos θ、虚部が sin θ

指数に実部 α\alpha がつくと、指数法則で e(α+iβ)t=eαt eiβt=eαt(cos⁡βt+isin⁡βt)e^{(\alpha + i\beta)t} = e^{\alpha t}\,e^{i\beta t} = e^{\alpha t}\bigl(\cos\beta t + i\sin\beta t\bigr) となり、β≠0, α<0\beta \neq 0,\ \alpha < 0 なら縮みながら回ります。減衰振動はこれです。

e^{(α+iβ)t} が α < 0 のとき、複素平面で原点に向かって縮みながら回る渦巻き

例題 1e(−0.5+2i)te^{(-0.5 + 2i)t} の実部と虚部を書く。

e(−0.5+2i)t=e−0.5t e2it=e−0.5tcos⁡2t+i e−0.5tsin⁡2t\begin{aligned} e^{(-0.5 + 2i)t} &= e^{-0.5t}\,e^{2it} \\ &= e^{-0.5t}\cos 2t + i\,e^{-0.5t}\sin 2t \end{aligned}

実部は e−0.5tcos⁡2te^{-0.5t}\cos 2t、虚部は e−0.5tsin⁡2te^{-0.5t}\sin 2t。どちらも振幅が e−0.5te^{-0.5t} で減りながら、角振動数 2 で揺れます。

演習 1

Euler の公式に θ=π\theta = \pi を入れると、何になるか。

答えを見る

cos⁡π=−1, sin⁡π=0\cos\pi = -1,\ \sin\pi = 0 なので

eiπ=−1.e^{i\pi} = -1.

演習 2

f(θ)=cos⁡θ+isin⁡θf(\theta) = \cos\theta + i\sin\theta を θ\theta で微分すると if(θ)i f(\theta) になることを確かめよう。
(eiθe^{i\theta} を微分すると ieiθi e^{i\theta} になることと合っている。)

答えを見る

cos⁡\cos と sin⁡\sin の微分から

f′(θ)=−sin⁡θ+icos⁡θ.f'(\theta) = -\sin\theta + i\cos\theta.

一方

if(θ)=icos⁡θ+i2sin⁡θ=−sin⁡θ+icos⁡θ.\begin{aligned} i f(\theta) &= i\cos\theta + i^{2}\sin\theta \\ &= -\sin\theta + i\cos\theta. \end{aligned}

2 つは等しい。

03実数の解を取り出す

微分方程式からは e±iωte^{\pm i\omega t} が組で出てきますが(θ=ωt\theta = \omega t)、ほしいのは実数の解です。e−iθ=cos⁡θ−isin⁡θe^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta(cos は偶関数、sin は奇関数)と足し引きすると

cos⁡θ=eiθ+e−iθ2,sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2},\qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}cos⁡θ=eiθ+e−iθ2,sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\begin{gathered}\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2},\\[4pt]\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}\end{gathered}

足して 2 で割れば cos、引いて 2i2i で割れば sin が取り出せます。たとえば e±2ite^{\pm 2it} からは cos⁡2t\cos 2t と sin⁡2t\sin 2t です。取り出した C1cos⁡θ+C2sin⁡θC_1\cos\theta + C_2\sin\theta は、三角関数の合成で 1 つの cos に変形できます。