三角関数の合成 | physics-asks

01足すと何になるか

$3\cos\theta$ と $4\sin\theta$ を足すと、振幅は 3 + 4 = 7 になりそうです。ところが 2 つの山は同じ所にないので、そうはなりません。描いてみると、和は振幅 5 の cos の形で、少し右にずれています。

3cosθ(破線)と 4sinθ(点線)と、その和(太線)。和は振幅 5 の波で、3cosθ より少し右にずれている — 和も同じ周期の波。大きさとずれだけが変わる

そこで、和を 1 つの cos で書き、大きさ $A$ とずれ $\phi$ を求めます。

02合成の式

$C_1, C_2$ は実数で、両方 0 ではないとします。

三角関数の合成

C_{1}\cos\theta + C_{2}\sin\theta = A\cos(\theta + \phi)

A = \sqrt{C_1^2 + C_2^2}

C_1 = A\cos\phi

C_2 = -A\sin\phi

右辺を加法定理で開くと

A\cos(\theta + \phi) = A\cos\phi\,\cos\theta - A\sin\phi\,\sin\theta

どんな $\theta$ でも左辺と等しくなるには、 $\cos\theta$ と $\sin\theta$ の係数がそれぞれ等しければよいので

C_{1} = A\cos\phi,\qquad C_{2} = -A\sin\phi

\begin{gathered}C_{1} = A\cos\phi,\\[4pt]C_{2} = -A\sin\phi\end{gathered}

A = \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}},\qquad \cos\phi = \frac{C_{1}}{A},\quad \sin\phi = -\frac{C_{2}}{A}

\begin{gathered}A = \sqrt{C_{1}^{2} + C_{2}^{2}},\\[4pt]\cos\phi = \frac{C_{1}}{A},\quad \sin\phi = -\frac{C_{2}}{A}\end{gathered}

点 $(C_1, -C_2)$ を、原点からの距離 $A$ と角度 $\phi$ で表したものです。

$\phi$ は cos と sin の両方で決めます( $-\pi < \phi \le \pi$ ならただ 1 つ)。 $\tan\phi = -C_2/C_1$ だけでは、 $(C_1, C_2) = (1, 1)$ と $(-1, -1)$ のように $\pi$ ずれたものを区別できず、 $C_1 = 0$ では使えません。

例題 1 $3\cos\theta + 4\sin\theta$ を 1 つの cos にまとめる。

A = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5,\qquad \cos\phi = \frac{3}{5},\quad \sin\phi = -\frac{4}{5}

\begin{gathered}A = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5,\\[4pt]\cos\phi = \frac{3}{5},\quad \sin\phi = -\frac{4}{5}\end{gathered}

$\phi$ は第 4 象限で $\phi = -\arctan(4/3) \approx -0.927\ \mathrm{rad}$ (約 $-53.1^\circ$ )。よって $3\cos\theta + 4\sin\theta = 5\cos(\theta - \arctan(4/3))$ $\approx 5\cos(\theta - 0.927)$ 。01 節の図の振幅 5 です。

演習 1

$\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta$ を $A\cos(\theta + \phi)$ の形にしよう ( $-\pi < \phi \le \pi$ )。

答えを見る

$C_{1} = \sqrt{3},\ C_{2} = 1$ なので

$A = \sqrt{3 + 1} = 2,\qquad \cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\phi = -\frac{1}{2}.$ $\begin{gathered}A = \sqrt{3 + 1} = 2,\\[4pt]\cos\phi = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\phi = -\frac{1}{2}.\end{gathered}$

両方を満たすのは $\phi = -\pi/6$ 。よって

$\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta = 2\cos\Bigl(\theta - \frac{\pi}{6}\Bigr).$

減衰振動では $\theta = \omega_d t$ として、 $e^{-\gamma t}(C_1\cos\omega_d t + C_2\sin\omega_d t) = A\,e^{-\gamma t}\cos(\omega_d t + \phi)$ と書きかえるのに使います(減衰振動)。