多変数の極値停留点と、谷か峠かの見分け方

012 変数の谷の底

1 変数なら、$f'(x) = 0$ の点が極小・極大の候補でした。2 変数の $f(x, y)$ でも、$x$ と $y$ を別々に 1 変数として見ればよさそうです。ところが、$x$ 方向に切ると谷の底でも、$y$ 方向に切ると山の頂上になっている点があります(03 節の鞍点)。逆に、$x$ 方向にも $y$ 方向にも谷なのに、斜めに切ると山になる点もあります(たとえば $x^2 - 3xy + y^2$ の原点。04 節で $D = 4 - 9 < 0$)。2 つの向きを合わせて調べる必要があります。

02停留点

$y$ を止めて $x$ だけで微分したものが偏微分 $\partial f/\partial x$($f_x$ とも書く)です。谷の底では、$x$ 方向にも $y$ 方向にも傾きがないので

この 2 つを満たす点を停留点と呼びます。$f$ がなめらかなら、定義域の内側にある極小や極大は必ず停留点です(端では成り立たない)。ただし、逆は成り立ちません。

03谷・山・峠

停留点には、谷の底(極小)、山の頂上(極大)のほかに、鞍点(峠)があります。ある向きには上り、別の向きには下る点です。

偏微分が 0 なだけでは、どれか分かりません。もう 1 回微分して、曲がり方を見ます。

042 階の偏微分で見分ける

1 変数の $f''$ の符号に当たるものがほしい。停留点で 2 階の偏微分 $f_{xx} = \partial^2 f/\partial x^2$、$f_{yy} = \partial^2 f/\partial y^2$、$f_{xy} = \partial^2 f/\partial x\partial y$ を求め($f$ は 2 回なめらかに微分できるとする)

• $D > 0,\ f_{xx} > 0$:極小(どの向きにも上る)
• $D > 0,\ f_{xx} < 0$:極大
• $D < 0$:鞍点
• $D = 0$:これだけでは分からない

理由:停留点からのずれを $(u, v)$ とし、$f$ を 2 次までテイラー展開すると、1 次の項は 0 で、$D \neq 0$ なら増え方は 2 次式 $\frac{1}{2}(f_{xx}u^2 + 2f_{xy}uv + f_{yy}v^2)$ で決まります。平方完成すると $\frac{1}{2}\bigl[f_{xx}(u + \tfrac{f_{xy}}{f_{xx}}v)^2 + \tfrac{D}{f_{xx}}v^2\bigr]$ なので、$D > 0$ なら 2 つの項は $f_{xx}$ と同じ符号、$D < 0$ なら向きによって符号が変わります($f_{xx} = 0$ のときは $f_{yy}$ で同じように平方完成し、両方 0 なら $f_{xy}uv$ の項だけで、やはり向きで符号が変わる)。